Fluxo de calor em estados estacionários de não-equilíbrio

Ricardo de Carvalho Falcao

Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/1843/IACO-6WLSF8

Type:	Tese de Doutorado
Title:	Fluxo de calor em estados estacionários de não-equilíbrio
Authors:	Ricardo de Carvalho Falcao
First Advisor:	Emmanuel Araujo Pereira
First Referee:	Jafferson Kamphorst Leal da Silva
Second Referee:	Ricardo Schwartz Schor
Third Referee:	Mario Jose de Oliveira
Abstract:	O contexto desse trabalho é o estudo e a caracterização de estados estacionários de não equilíbrio a partir de modelos microscópicos Hamiltonianos. Em particular estamos interessados no problema da condução de calor em sólidos que fornece um exemplo bastante elementar de estudo de um estado estacionário de não equilíbrio. Um modelo microscópico bastante estudado na literatura é a cadeia de osciladores harmônicos, ou sua versão anarmônica em contato com reservatórios térmicos de Langevin, i.e. reservatórios representados por variáveis estocásticas. O estudo destes modelos matemáticos simples é de grande valor para o entendimento mais profundo das hipóteses necessárias para a validade da lei de Fourier. Em particular estamos interessados no papel da não harmonicidade no potencial local ou na interação entre as partículas, e no papel da temperatura para a validade ou não da lei de Fourier. Sabemos da mecânica estatística de equilíbrio que se todos os reservatórios térmicos estão na mesma temperatura o estado estacionário atingido é aquele de temperatura uniforme descrito pela medida de Gibbs, porém quando o sistema está submetido a diferentes temperaturas, não sabemos qual medida descreve este estado. Não podemos nem garantir a existência de uma distribuição estacionária, nem se esta distribuição é única. O nosso objetivo neste trabalho é estudar algumas propriedades destes estados estacionários. Neste trabalho analisamos a dinâmica estocástica de Langevin de um cristal (an)harmônico, i.e. estudamos um modelo de campo escalar na rede, com variáveis de \textit{spin} não limitadas. Em uma caixa $\Lambda \subset \mathbb{Z}^d$ acoplados à banhos térmicos estocásticos em cada sítio. Precisamente estamos considerando um sistema de $N$ osciladores com o Hamiltoniano \begin{equation}H(q,p)=\sum_{j=1}^{N}\frac{1}{2}\left [p_j^2+U^{(1)}(q_j)\right ] + \frac{1}{2}\sum_{j\neq l=1}^{N} U^{(2)}(q_j-q_l), \label{Hamiltonian0}\end{equation} onde $U^{(1)}$ é um potencial local e $U^{(2)}$ um potencial de interação. A evolução temporal é dada pelas seguintes equações diferenciais estocásticas \begin{eqnarray} dq_j&=&p_jdt , \quad\quad\quad ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~j=1,\ldots,N, \label{eq:dynamics}\\ dp_j&=&-\frac{\partial H}{\partial q_j}dt-\zeta p_jdt+\gamma^{1/2}_jdB_j , \quad\quad\quad j=1,\ldots,N, \nonumber\end{eqnarray} onde $B_j$ são processos de Wiener independentes, isto é, $dB_j/dt$ são ruídos branco independentes, $\zeta$ é a constante de acoplamento com o banho térmico e $\gamma_j=2\zeta T_j$, onde $T_j$ é a temperatura do j-ésimo banho térmico. Desenvolvemos uma abordagem para tratar este problema. Essa abordagem está baseada na construção de uma fórmula integral que na física estatística de equilíbrio seria algo parecido com a função de partição e em teorias de campo seria uma fórmula similar a de Feynnman-Kac. De posse desta fórmula integral estamos aptos a realizar cálculos analíticos para diversos sistemas concretos. Analisamos três sistemas em particular que são: o cristal harmônico, o cristal anarmônico, e o modelo do rotor.
Abstract:	The context of this work is the study and the characterization of non equilibrium steady states from Hamiltonian microscopical models. In particular we are interested in the problem of the heat conduction in solids that supplies a elementary example of a non equilibrium steady state. A microscopical model frequently studied in literature is the chain of harmonic oscillators, or its anharmonic version, in contact with Langevin thermal reservoirs, i.e. reservoirs represented by random variable. The study of these simple mathematical models is of great value for a deeper understanding of the necessary hypothesesfor the validity of the Fourier law. In particular we are interested in the role of the anharmonicity in the on-site potential or in the interaction between particles, and in the role of the temperature for the validity or not of the law of Fourier. We know from equilibrium statistical mechanics that if all the thermal reservoirs are in a same temperature the reached stationary state is that one of uniform temperature described by the Gibbs measure, however when the system is submitted to different temperatures, we dont know which measure describes this state, we cannot guarantee the existence of a stationary distribution, nor if this distribution is the only one. Our objective in this work is to study some properties of these stationary states. In this work we analyze the stochastic Langevin dynamics of a (an)harmonic crystal, i.e. we study a scalar field lattice model with unbounded spin variable in vi a d-dimensional lattice space box ¤ 2 Zd with stochastic heat bath at each site. Precisely, we take a system of N oscillators with the Hamiltonian H(q, p) =XNj=112£p2j+ U(1)(qj)¤+12XNj6=l=1U(2)(qj - ql), (3)where U(1) is an on-site potential and U(2) is a interaction potential. We consider the time evolution given by the stochastic differentialdqj = pjdt, j = 1, . . . ,N, (4)dpj = -@H@qjdt - ³pjdt + °1/2j dBj , j = 1, . . . ,N,where Bj are independent Wiener process, i.e., dBj/dt are independent white noise; ³ is the heat bath coupling and °j = 2³Tj , where Tj is the temperature of j-th heat bath. We develop an approach to treat this problem. Our approach is based on the construction of an integral formula. With this integral formula we are apt to carry out analytical calculations for concrete systems. In particular we analyze tree systems they are: the harmonic crystal, the anharmonic crystal, and the rotormodel.
Subject:	Fluxo de calor Cristal harmônico Lei de Fourier Mecânica estatística Sistemas de não equilíbrio Cristal anarmônico
language:	Português
Publisher:	Universidade Federal de Minas Gerais
Publisher Initials:	UFMG
Rights:	Acesso Aberto
URI:	http://hdl.handle.net/1843/IACO-6WLSF8
Issue Date:	20-Nov-2006
Appears in Collections:	Teses de Doutorado

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