Non-Nilpotent Lie Algebras with Non-Singular Derivations
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Tese de doutorado
Título alternativo
Primeiro orientador
Membros da banca
Renato Vidal da Silva Martins
Viktor Bekkert
Emerson Ferreira de Melo
Victor Petrogradskiy
Viktor Bekkert
Emerson Ferreira de Melo
Victor Petrogradskiy
Resumo
Seja L um álgebra de Lie e (..) uma derivação de L. A derivação (..) é dita não-singular se for injetiva como transformação linear. Por um resultado bem conhecido de N. Jacobson, uma álgebra de Lie de dimensão finita, sobre um corpo de característica zero e com uma derivação não-singular é nilpotente. Embora saibamos que esse resultado não é válido em característica p>0, pouco se sabe sobre álgebras de Lie em característica p>0 com derivações nãosingulares.Neste texto, exploramos a estrutura das álgebras de Lie solúveis, não-nilpotentes e com derivação não-singular. Apresentamos um novo conceito para derivações, chamado Pares Compatíveis. Esse conceito é usado, por exemplo, para calcular as derivações de uma extensão de álgebra de Lie. Outra aplicação obtida é uma versão do teorema de Jacobson para as álgebras de Lie sobre corpos com característica p>0. Usando Pares Compatíveis foi possível obter uma caracterização para álgebras de Lie não-nilpotentes, com um ideal abeliano de codimensões 1 e derivação não-singular. Adicionalmente, construímos um exemplo de álgebra de Lie nãonilpotente, com derivação não-singular e classe de nilpotência arbitraria. Por fim, provamos quese H é a álgebra de Heisenberg sobre um corpo de característica p e I um H-módulo, tais que a soma semi-direta de H e I é uma álgebra de Lie não-nilpotente com derivação não-singular, então a dimensão de I é, no mínimo, p + 3.
Abstract
Let L be a Lie algebra and (..) be a derivation of L. The derivation (..) is non-singular if it is injective as linear transformation. By a well-known result of N. Jacobson, a Lie algebra of finite dimension over a field of characteristic zero having a non-singular derivation is nilpotent.Although we know that this result is not valid in characteristic p>0, little is known about Lie algebras in p characteristic with non-singular derivations. In this text, we explore the structure of solvable, non-nilpotent Lie algebras with non-singular derivations. We present a new concept for derivations, called Compatible Pairs. This concept is used, for example, to calculate the derivations of an extension of Lie algebras. Another application obtained was a version of Jacobsons Theorem for Lie algebras over fields characteristic p>0. Using Compatible pairs it was possible to obtain a characterization of non-nilpotent Lie algebras, with an abelian deal of codimension 1 and non-singular derivations. Further, a new example of non-nilpotent Lie algebras, with non-singular derivations and arbitrarily nilpotency class was constructed. Finally, we prove that if H is the Heisenberg algebra over a field of characteristic p>0, and I is aH-module such that the semi-direct sum of H and I, is a non-nilpotent Lie algebras with nonsingular derivation, then the dimension of I is, at least, p + 3.
Assunto
Matemática, Lie, Algebra de, Teoria dos grupos, Algebra abstrata
Palavras-chave
Teorema, Álgebras de Lie, Derivações Não-Singulares, de Jacobson, Pares Compatíveis