Fractional p-Laplacian and p-Kirchhoff equations with Sobolev and Choquard critical nonlinearities and weighted singularities
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Tese de doutorado
Título alternativo
Primeiro orientador
Membros da banca
Gilberto de Assis Pereira
Grey Ercole
Hamilton Prado Bueno
Luiz Fernando de Oliveira Faria
Grey Ercole
Hamilton Prado Bueno
Luiz Fernando de Oliveira Faria
Resumo
In the first part of this dissertation thesis, we study a fractional $p$-Laplacian model problem in the entire space $\mathbb{R}^{N}$ featuring doubly critical nonlinearities involving a local critical Sobolev term together with a nonlocal Choquard fractional critical term; the problem also includes a homogeneous Hardy term; additionally, all nonlinearities have singularities. By establishing new embedding results involving weighted Morrey norms in the homogeneous fractional Sobolev space, we provide sufficient conditions under which a weak nontrivial solution to the problem exists via variational methods. By using the same techniques used to prove this result we can also deal with problems involving double critical Sobolev or double critical Choquard terms. Next, we study another variant of the fractional $p$-Laplacian problem with Sobolev-Choquard terms and a critical coupling term. More precisely, we consider a fractional $p$-Laplacian system of equations in the entire space $\mathbb{R}^{N}$ with doubly critical singular nonlinearities involving a local critical Sobolev term together with a nonlocal Choquard critical term; the problem also includes a homogeneous Hardy term; moreover, all the nonlinearities involve singular critical weights; additionally, the coupling term is critical in the sense of the Sobolev embeddings. To prove the main result we use a version of the Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequality and a refinement of Sobolev inequality that is related to Morrey space because our problem involves doubly critical exponents. With the help of these results, we provide sufficient conditions under which a weak nontrivial solution to the problem exists via variational methods.
Finally, we consider a fractional $p$-Kirchhoff equation in the entire space $\mathbb{R}^{N}$ featuring double nonlinearities, involving a generalized nonlocal Choquard subcritical term together with a local critical Sobolev term; the problem also includes a Hardy-type term; additionaly, all terms have critical singular weights. We focus our attention on the existence of a nontrivial weak solution for fractional $p$-Kirchhoff equation in the entire space $\mathbb{R}^{N}$. The possibility of a slower growth in the nonlinearity makes it more difficult to establish a compactness condition; to do so, we use the Cerami condition. The crucial points in our argument are the uniform boundedness of the convolution part and the lack of compactness of the Sobolev embeddings.
Abstract
Na primeira parte desta tese, estudamos um problema modelo de p-Laplaciano fracionário no espaço R N com dupla não linearidades críticas envolvendo um termo crítico local de Sobolev junto com um termo crítico não local de Choquard fracionário; o problema também inclui um termo homogêneo de Hardy; adicionalmente, todas as não linearidades possuem singularidades. Ao estabelecer novos resultados de imersões envolvendo normas de Morrey com peso no espaço homogêneo de Sobolev fracionário, fornecemos condições suficientes sob as quais existe uma solução fraca não trivial para o problema por meio de métodos variacionais. Usando as mesmas técnicas utilizadas para provar este resultado, também podemos tratar problemas envolvendo termos duplamente críticos de Sobolev ou duplamente críticos de Choquard. Em seguida, estudamos outra variante do problema do p-Laplaciano fracionário com termos de Sobolev-Choquard e um termo de acoplamento crítico. Mais precisamente, consideramos um sistema de equações de p-Laplaciano fracionário no espaço R N com dupla não linearidades críticas envolvendo um termo crítico local de Sobolev junto com um termo crítico não local de Choquard; o problema também inclui um termo homogêneo de Hardy; além disso, todas as não linearidades envolvem singularidades; adicionalmente, o termo de acoplamento é crítico no sentido das imersões de Sobolev. Para provar o resultado principal, usamos uma versão da desigualdade de Caffarelli-Kohn-Nirenberg e um refinamento da desigualdade de Sobolev que está relacionada ao espaço de Morrey, pois nosso problema envolve expoentes duplamente críticos. Com a ajuda desses resultados, fornecemos condições suficientes sob as quais existe uma solução fraca não trivial para o problema por meio de métodos variacionais. Por fim, consideramos uma equação p-Kirchhoff fracionária no espaço R N com dupla não linearidades, envolvendo um termo subcrítico não local generalizado de Choquard junto com um termo crítico local de Sobolev; o problema também inclui um termo do tipo Hardy; adicionalmente, todos os termos têm pesos singulares críticos. Focamos nossa atenção na existência de uma solução fraca não trivial para a equação p-Kirchhoff fracionária no espaço R N . A possibilidade de um crescimento mais lento da não linearidade torna mais difícil estabelecer uma condição de compacidade; para isso, usamos a condição de Cerami. Os pontos cruciais em nosso argumento são a limitação uniforme da parte da convolução e a falta de compacidade das imersões de Sobolev.
Assunto
Matemática – Teses, Equações diferenciais – Teses, Laplace, Transformadas de – Teses, Hardy, Espaços de – Teses, Sobolev, Espaço de – Teses, Equação de Choquard – Teses
Palavras-chave
fractional p-Laplacian, Hardy potentials, weighted singularities, Sobolev-Choquard equation, fractional p-Kirchhoff equation