Fractional p-Laplacian and p-Kirchhoff equations with Sobolev and Choquard critical nonlinearities and weighted singularities

Abstract

Na primeira parte desta tese, estudamos um problema modelo de p-Laplaciano fracionário no espaço R N com dupla não linearidades críticas envolvendo um termo crítico local de Sobolev junto com um termo crítico não local de Choquard fracionário; o problema também inclui um termo homogêneo de Hardy; adicionalmente, todas as não linearidades possuem singularidades. Ao estabelecer novos resultados de imersões envolvendo normas de Morrey com peso no espaço homogêneo de Sobolev fracionário, fornecemos condições suficientes sob as quais existe uma solução fraca não trivial para o problema por meio de métodos variacionais. Usando as mesmas técnicas utilizadas para provar este resultado, também podemos tratar problemas envolvendo termos duplamente críticos de Sobolev ou duplamente críticos de Choquard. Em seguida, estudamos outra variante do problema do p-Laplaciano fracionário com termos de Sobolev-Choquard e um termo de acoplamento crítico. Mais precisamente, consideramos um sistema de equações de p-Laplaciano fracionário no espaço R N com dupla não linearidades críticas envolvendo um termo crítico local de Sobolev junto com um termo crítico não local de Choquard; o problema também inclui um termo homogêneo de Hardy; além disso, todas as não linearidades envolvem singularidades; adicionalmente, o termo de acoplamento é crítico no sentido das imersões de Sobolev. Para provar o resultado principal, usamos uma versão da desigualdade de Caffarelli-Kohn-Nirenberg e um refinamento da desigualdade de Sobolev que está relacionada ao espaço de Morrey, pois nosso problema envolve expoentes duplamente críticos. Com a ajuda desses resultados, fornecemos condições suficientes sob as quais existe uma solução fraca não trivial para o problema por meio de métodos variacionais. Por fim, consideramos uma equação p-Kirchhoff fracionária no espaço R N com dupla não linearidades, envolvendo um termo subcrítico não local generalizado de Choquard junto com um termo crítico local de Sobolev; o problema também inclui um termo do tipo Hardy; adicionalmente, todos os termos têm pesos singulares críticos. Focamos nossa atenção na existência de uma solução fraca não trivial para a equação p-Kirchhoff fracionária no espaço R N . A possibilidade de um crescimento mais lento da não linearidade torna mais difícil estabelecer uma condição de compacidade; para isso, usamos a condição de Cerami. Os pontos cruciais em nosso argumento são a limitação uniforme da parte da convolução e a falta de compacidade das imersões de Sobolev.