Asymptotic behaviour of solutions to a family of p-Laplacian problems
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Dissertação de mestrado
Título alternativo
Comportamento assintótico das soluções de uma família de problemas p-Laplacianos
Primeiro orientador
Membros da banca
Gilberto de Assis Pereira
Ronaldo Brasileiro Assunção
Ronaldo Brasileiro Assunção
Resumo
The theory of viscosity solutions, introduced in the 1980s, revolutionized the study of nonlinear Partial Differential Equations by providing a robust framework for problems where classical and weak solution concepts were insufficient. In recent decades, this theory has proven particularly effective in studying the asymptotic behaviour of solutions to elliptic problems.
In this work, we investigate the asymptotic behaviour as $p \to +\infty$ of weak solutions to the Dirichlet problem
$$
\begin{cases}
-\Delta_p u = \lambda_{p,q(p)}(\Omega)|u|^{q(p)-2}u & \text{in } \Omega, \\
u > 0 & \text{in } \Omega, \\
u = 0 & \text{on } \partial\Omega,
\end{cases}
$$
where $q = q(p)$ satisfies
$$
Q := \lim_{p\to+\infty} \frac{q(p)}{p} \in [0, +\infty]
$$
and $\lambda_{p,q(p)}(\Omega)$ is the best constant of the Sobolev embedding $W_{0}^{1,p}(\Omega) \hookrightarrow L^{q(p)}(\Omega)$.
Problems of this nature, with a variable exponent $q(p)$, were first introduced Juutinen, Lindqvist and Manfredi [16], Charro and Peral [8] and Charro and Parini [6]. However, our approach is based on the recent work by Ercole introduced in [10].
Abstract
A teoria de soluções de viscosidade, introduzida nos anos 80, revolucionou o estudo das Equações
Diferenciais Parciais não lineares, oferecendo uma abordagem robusta para problemas onde os conceitos de solução clássica e fraca já não eram suficientes. Nas últimas décadas, essa teoria mostrouse especialmente eficaz no estudo do comportamento assintótico de soluções de problemas elípticos.
Neste trabalho, estudamos o comportamento assintótico quando 𝑝 → +∞ das soluções fracas
do problema de Dirichlet
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
−Δ𝑝
𝑢 = 𝜆𝑝,𝑞(𝑝)
(Ω)|𝑢|
𝑞(𝑝)−2𝑢 em Ω
𝑢 > 0 em Ω
𝑢 = 0 em 𝜕Ω,
onde 𝑞 = 𝑞(𝑝) é tal que
𝑄 ∶= lim
𝑝→+∞
𝑞(𝑝)
𝑝
∈ [0,+∞]
e 𝜆𝑝,𝑞(𝑝)
(Ω) é a melhor constante da imersão de Sobolev 𝑊
1,𝑝
0
(Ω) ↪ 𝐿𝑞(𝑝)
(Ω).
Problemas dessa natureza, com um expoente 𝑞(𝑝) variável, foram introduzidos inicialmente por
Juutinen, Lindqvist e Manfredi [16], Charro e Peral em [8] e por Charro e Parini em [6]. A abordagem que utilizamos, entretanto, baseia-se no trabalho recente de Ercole introduzido em [10].
Assunto
Matemática – Teses, Equações diferenciais Parciais – Teses, Comportamento assintótico – Teses, Soluções de viscosidade – Teses, Operador laplaciano – Teses
Palavras-chave
p-Laplaciano, Viscosity solutions, Asymptotic behaviour