Asymptotic behaviour of solutions to a family of p-Laplacian problems

Abstract

A teoria de soluções de viscosidade, introduzida nos anos 80, revolucionou o estudo das Equações Diferenciais Parciais não lineares, oferecendo uma abordagem robusta para problemas onde os conceitos de solução clássica e fraca já não eram suficientes. Nas últimas décadas, essa teoria mostrouse especialmente eficaz no estudo do comportamento assintótico de soluções de problemas elípticos. Neste trabalho, estudamos o comportamento assintótico quando 𝑝 → +∞ das soluções fracas do problema de Dirichlet ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ −Δ𝑝 𝑢 = 𝜆𝑝,𝑞(𝑝) (Ω)|𝑢| 𝑞(𝑝)−2𝑢 em Ω 𝑢 > 0 em Ω 𝑢 = 0 em 𝜕Ω, onde 𝑞 = 𝑞(𝑝) é tal que 𝑄 ∶= lim 𝑝→+∞ 𝑞(𝑝) 𝑝 ∈ [0,+∞] e 𝜆𝑝,𝑞(𝑝) (Ω) é a melhor constante da imersão de Sobolev 𝑊 1,𝑝 0 (Ω) ↪ 𝐿𝑞(𝑝) (Ω). Problemas dessa natureza, com um expoente 𝑞(𝑝) variável, foram introduzidos inicialmente por Juutinen, Lindqvist e Manfredi [16], Charro e Peral em [8] e por Charro e Parini em [6]. A abordagem que utilizamos, entretanto, baseia-se no trabalho recente de Ercole introduzido em [10].