Nonlinear perturbations of a periodic magnetic nonlinear Choquard equation with Hardy-Littlewood-Sobolev critical exponent

Abstract

Neste trabalho nós consideramos as seguintes equações de Choquard magnéticas não lineares \[-(\nabla+iA(x))^2u+ V(x)u = \left(\frac{1}{|x|^{\alpha}}*|u|^{2_{\alpha}^*}\right) |u|^{2_{\alpha}^*-2} u + \lambda f(u)\ \textrm{ em }\ \R^N (N\geq 3)\] e \[(-\Delta)^s_A u+ V(x)u = \left(\frac{1}{|x|^{\alpha}}*|u|^{2_{\alpha,s}^*}\right) |u|^{2_{\alpha,s}^*-2} u + \lambda g(u)\ \textrm{ em }\ \R^N (N=3),\] em que $s\in(0,1)$, $2_{\alpha}^{*}=\frac{2N-\alpha}{N-2}$ e $2_{\alpha,s}^{*}=\frac{6-\alpha}{3-2s}$ são os expoentes críticos no sentido da desigualdade de Hardy-Littlewood-Sobolev. Além disso, em ambos os problemas $0<\alpha< N,$ $\lambda>0,$ $A: \mathbb{R}^{N}\rightarrow \mathbb{R}^{N}$ é um potencial vetorial de classe $C^1$, $\mathbb{Z}^N$-periódico e $V$ é potencial escalar contínuo dado como uma perturbação de um potencial periódico. Considerando diferentes tipos de não linearidades $f$ e $g$, a saber, $f(x,u)=\left(\frac{1}{|x|^{\alpha}}*|u|^{p}\right)|u|^{p-2} u$ para $(2N-\alpha)/N<p<2^{*}_{\alpha}$, depois $f(u)=|u|^{p-1} u$ para $1<p<2^*-1$ e $f(u)=|u|^{2^* - 2}u$ (em que $2^*=2N/(N-2)$), $g(x,u)=\left(\frac{1}{|x|^{\alpha}}*|u|^{p}\right)|u|^{p-2} u$ para $(6-\alpha)/3<p<2^{*}_{\alpha,s}$, depois $g(u)=|u|^{p-1} u$ para $1<p<2_s^*-1$ e $g(u)=|u|^{2_s^* - 2}u$ (em que $2_s^*=6/(3-2s)$), nós provamos a existência de ao menos uma solução de estado fundamental para estas equações por métodos variacionais se $p$ pertence a alguns intervalos dependendo de $N$, $\lambda$ e também de $s$ no segundo problema.