Boa colocação local e comportamento assintótico para a equação não linear de Schrödinger não homogênea em H1 (R n )
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Universidade Federal de Minas Gerais
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Dissertação de mestrado
Título alternativo
Good local collocation and asymptotic behavior for the inhomogeneous nonlinear Schrödinger equation in H1(R n )
Primeiro orientador
Membros da banca
Luccas Cassimiro Campos
Mykael de Araújo Cardoso
Mykael de Araújo Cardoso
Resumo
Neste trabalho, estudamos o problema de valor inicial
\begin{align*}
\begin{cases}
i\partial_t u + \Delta u + |x|^{-\frac{1}{2}}|u|^{\frac{3}{2}}u = 0 \\
u(x,0) = u_0(x) \in H^1(\mathbb{R}^n)
\end{cases}
\end{align*}
para dimensões $n=2,3$. Estabelecemos resultado de boa colocação local em $H^1(\mathbb{R}^n)$ utilizando o teorema do ponto fixo de Banach, estimativas de Strichartz e ferramentas de Análise Harmônica. A equação acima é invariante pelo \textit{Scaling} $\lambda \rightarrow \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t)$, que deixa invariante a norma $L^2$ em dimensão 2 e a norma $\Dot{H}^\frac{1}{2}$ em dimensão 3. Para $n=2$, estudamos o fenômeno de \textit{Blow-up} em tempo finito para energia negativa e em dimensão $n=3$ estabelecemos um resultado de espalhamento (\textit{Scattering}) para soluções abaixo de um nível dado explicitamente pelo \textit{ground state}, utilizando um método baseado em um critério de espalhamento e uma identidade Virial.
Para o resultado de boa colocação, seguimos as ideias de Guzmán \cite{GUZMAN2017249} e para o resultado de \textit{Blow-up} seguimos Cardoso e Farah \cite{Blowup}. Finalmente, para o resultado de \textit{Scattering} nos baseamos em Campos e Cardoso \cite{Scattering}.
Para o desenvolvimento dos resultados principais fazemos uma revisão de importantes ferramentas de Análise funcional e harmônica e apresentamos resultados sobre a equação elítica associada ao problema estudado.
Abstract
Assunto
Matemática – Teses, Problemas de valor inicial – Teses, Equação de Schrodinger– Teses, Espalhamento (Matemática) - Teses
Palavras-chave
Boa colocação, Scattering, Blow-up, Schrödinger
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