High-performance domain decomposition preconditioners for time-harmonic wave equations
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Universidade Federal de Minas Gerais
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Tipo
Tese de doutorado
Título alternativo
Primeiro orientador
Membros da banca
Xisto Lucas Travassos Junior
Eduardo Henrique da Rocha Coppoli
Ricardo Luiz da Silva Adriano
Renato Cardoso Mesquita
Rodney Rezende Saldanha
Eduardo Henrique da Rocha Coppoli
Ricardo Luiz da Silva Adriano
Renato Cardoso Mesquita
Rodney Rezende Saldanha
Resumo
This thesis investigates and proposes new techniques for solving time-harmonic electromagnetic problems discretized by the finite element method. We reckon that strictly algebraic solving methods do not work correctly for such problems, and instead, an appealing alternative is to use physics-informed preconditioned iterative methods. This approach, however, requires a strong integration between the discretization and solution methods. As the current trend in high-performance computing trends toward increased parallelism, domain decomposition preconditioners come into play, and it is the class of method we consider in this thesis. The implementation of effective domain decomposition preconditioners for time-harmonic electromagnetic problems is remarkably challenging. However, we show that the implementation can be simplified significantly by employing a finite-element framework that allows each algorithm to be expressed at a suitable abstraction level. To manage all the abstractions and their interrelationships, we use and extend the FEniCS Problem Solving Environment. In addition to the availability of suitable software infrastructure, the effectiveness of domain decomposition methods depends on two extra factors that cannot be obtained purely algebraically: the transmission conditions applied at the interface between adjacent subdomains and the coarse space correction that allows a global transfer of information. We propose a new optimization process for devising transmission conditions that automatically considers the propagative nature of waves. Numerical experiments show that one-level Schwarz preconditioners with our optimized transmission conditions lead systematically to fast convergence rates. We also propose a new two-level domain decomposition preconditioner for time-harmonic electromagnetic problems that is efficient and scalable in parallel: the construction of the coarse space problem is cheap overall, and the preconditioned GMRES depends weakly on the number of processes. We present some numerical experiments using the FEniCSx library, highlighting our approach's scalability on up to $2240$ processes and $2 \times 109$ unknowns.
Abstract
Esta tese investiga e propõe novas técnicas para a solução de problemas eletromagnéticos harmônicos discretizados pelo método dos elementos finitos. Reconhecemos que os métodos de solução estritamente algébricos não funcionam corretamente para tais problemas e, em vez disso, uma alternativa atraente é usar métodos iterativos pré-condicionados enriquecidos com informações física. Essa abordagem, no entanto, requer uma forte integração entre os métodos de discretização e solução. A implementação de pré-condicionadores de decomposição de domínio eficazes para problemas eletromagnéticos harmônicos é extremamente desafiadora. No entanto, mostramos que a implementação pode ser simplificada significativamente, empregando uma estrutura de elementos finitos que permite que cada algoritmo seja expresso em um nível de abstração adequado. Para gerenciar todas as abstrações e seus inter-relacionamentos, usamos e estendemos o ambiente de solução de problemas FEniCS. Além da disponibilidade de infraestrutura de software adequada, a eficácia dos métodos de decomposição de domínio depende de dois fatores extras que não podem ser obtidos algebricamente: as condições de transmissão aplicadas na interface entre subdomínios adjacentes e a correção de espaço grosseiro que permite uma transferência global de informações. Neste trabalho propomos um novo processo de otimização para o desenvolvimento de condições de transmissão que considerem automaticamente a natureza propagativa das ondas. Experimentos numéricos mostram que pré-condicionadores Schwarz de um nível utilizando as condições de transmissão otimizadas propostas conduzem sistematicamente a taxas de convergência rápidas. Também propomos um novo pré-condicionador de decomposição de domínio de dois níveis para problemas eletromagnéticos harmônicos que é eficiente e escalável: a construção do problema de espaço grosseiro é barata, e o GMRES pré-condicionado depende fracamente do número de processos MPI.
Assunto
Engenharia elétrica, Método dos elementos finitos, Computação paralela, Eletromagnetismo, Método de decomposição, Simulação por computador
Palavras-chave
Finite element method, Computational electromagnetics, Parallel Computing
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