High-performance domain decomposition preconditioners for time-harmonic wave equations

Abstract

Esta tese investiga e propõe novas técnicas para a solução de problemas eletromagnéticos harmônicos discretizados pelo método dos elementos finitos. Reconhecemos que os métodos de solução estritamente algébricos não funcionam corretamente para tais problemas e, em vez disso, uma alternativa atraente é usar métodos iterativos pré-condicionados enriquecidos com informações física. Essa abordagem, no entanto, requer uma forte integração entre os métodos de discretização e solução. A implementação de pré-condicionadores de decomposição de domínio eficazes para problemas eletromagnéticos harmônicos é extremamente desafiadora. No entanto, mostramos que a implementação pode ser simplificada significativamente, empregando uma estrutura de elementos finitos que permite que cada algoritmo seja expresso em um nível de abstração adequado. Para gerenciar todas as abstrações e seus inter-relacionamentos, usamos e estendemos o ambiente de solução de problemas FEniCS. Além da disponibilidade de infraestrutura de software adequada, a eficácia dos métodos de decomposição de domínio depende de dois fatores extras que não podem ser obtidos algebricamente: as condições de transmissão aplicadas na interface entre subdomínios adjacentes e a correção de espaço grosseiro que permite uma transferência global de informações. Neste trabalho propomos um novo processo de otimização para o desenvolvimento de condições de transmissão que considerem automaticamente a natureza propagativa das ondas. Experimentos numéricos mostram que pré-condicionadores Schwarz de um nível utilizando as condições de transmissão otimizadas propostas conduzem sistematicamente a taxas de convergência rápidas. Também propomos um novo pré-condicionador de decomposição de domínio de dois níveis para problemas eletromagnéticos harmônicos que é eficiente e escalável: a construção do problema de espaço grosseiro é barata, e o GMRES pré-condicionado depende fracamente do número de processos MPI.