Improvement on generalized finite element method by identifying the optimal configuration of enrichment functions

Abstract

Problemas eletromagnéticos em alta freqüência são problemas computacionais atraentes e desafiadores a serem resolvidos. Embora tenham sido realizado esforços significativos e melhorias ao longo das duas últimas décadas, problemas ainda permanecem sem solução. Várias abordagens numéricas foram desenvolvidas até agora, como o Método de Elementos Finitos Generalizados (GFEM), que é baseado no método de partição de unidade (PUM). O GFEM é adequado para resolver a equação de Helmholtz bidimensional, onde o FEM clássico pode exigir um refinamento de malha proibitivo. No entanto, quando o número de incógnitas aumenta, algumas dificuldades surgem, como o número de condição ruim. Geralmente, as configurações de ondas planas no GFEM são escolhidas para serem uniformemente distribuídas. No entanto, nem todas as direções de onda contribuem eficientemente para a solução. Portanto, o desenvolvimento de uma metodologia de pré-processamento para identificar um número apropriado de graus de liberdade para cada problema poderia ser útil. As informações sobre a configuração adequada das ondas planas para um problema podem ser obtidas usando uma solução FEM imprecisa, gerada em uma malha de baixa resolução (a malha GFEM). Uma possibilidade é aplicar a Transformada Discreta de Fourier (DFT) para extrair um intervalo aceitável para o número de direções de onda $q$ e suas direções efetivas. Esta metodologia é apresentada nesta pesquisa e, embora defina uma faixa aceitável de $q$ para uma solução precisa e convergente, ela não define o número ótimo de direções de onda dentro desta faixa. Alternativamente, esse trabalho também propõe usar a transformada curvelets para obter informações locais sobre as direções de onda no domínio e, portanto, identificar quantas direções de onda são necessárias para representar com precisão a solução. O número identificado seria usado como o número ótimo de direções de onda para todos os nós na solução GFEM. Os resultados indicam que a estratégia adotada pode garantir respostas precisas e convergentes do GFEM em problemas complexos. Outro ponto positivo é a redução do custo computacional como conseqüência da redução número total de graus de liberdade.