Stability of ground states for logarithmic Schrödinger equation with a δ′-interaction
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Universidade Federal de Minas Gerais
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Estabilidade dos estados fundamentais para a equação de Schrödinger logarítmica com uma interação δ′
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Resumo
In this paper we study the one-dimensional logarithmic Schrödinger equation perturbed by an attractive δ′-interactioni∂tu+∂2xu+γ′(x)u+uLog|u|2=0,(x,t)∈R×R, where γ>0. We establish the existence and uniqueness of the solutions of the associated Cauchy problem in a suitable functional framework. In the attractive δ′-interaction case, the set of the ground state is completely determined. More precisely: if 0<γ≤2, then there is a single ground state and it is an odd function; if γ>2, then there exist two non-symmetric ground states. Finally, we show that the ground states are orbitally stable via a variational approach.
Abstract
Neste artigo, estudamos a equação logarítmica de Schrödinger unidimensional perturbada por uma atraente δ′-interação i∂tu + ∂2xu + γ ′ (x) u + uLog | u | 2 = 0, (x, t) ∈R × R , onde γ> 0. Estabelecemos a existência e a singularidade das soluções do problema de Cauchy associado em uma estrutura funcional adequada. No caso de interação δ′ atraente, o conjunto do estado fundamental é completamente determinado. Mais precisamente: se 0 <γ≤2, então existe um único estado fundamental e é uma função ímpar; se γ> 2, então existem dois estados fundamentais não simétricos. Finalmente, mostramos que os estados fundamentais são orbitalmente estáveis por meio de uma abordagem variacional.
Assunto
Schrödinger, Equações de, Cauchy, Problemas de
Palavras-chave
Logarithmic Schrödinger equationx, δ'-interaction, Bifurcation, Ground states
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https://www.aimsciences.org/article/doi/10.3934/eect.2017009