Long-time behavior of solutions to nonlinear Schrödinger-type equations

Abstract

Neste trabalho, apresentamos diversos resultados relacionados ao comportamento assintótico de soluções de equações do tipo Schrödinger. Para o caso clássico (e do tipo focusing) da equação de Schrödinger não-linear (NLS), descrevemos as soluções no limiar massa-energia, tanto no caso intercrítico quanto no caso H1-crítico. O comportamento dessas soluções é completamente classificado, mostrando que há uma certa rigidez quanto aos tipos de solução possíveis nesse regime. No contexto H1-crítico, estendemos o trabalho de Duyckaerts e Merle [24] para dimensões N $\geq$ 6 (c.f. Li e Zhang [63] para uma abordagem diferente), e no caso intercrítico, o trabalho de Duyckaerts e Roudenko [25]. Para a equação de Schrödinger não-linear e não-homogênea (INLS), apresentamos uma prova do scattering (espalhamento) abaixo do ground state (estado estacionário), adaptando a abordagem de Dodson e Murphy [22] para a INLS, bem como estendendo resultados anteriores de Farah e Guzmán [31, 30]. Discutimos também o comportamento de soluções da INLS que estão acima do limiar massa-energia. Exibimos um cenário em que há uma dicotomia entre scattering e blow-up (explosão), além de provar diferentes critérios de blow-up. Estendemos, assim, o trabalho de Duyckaerts e Roudenko [26] para a INLS.