Upper block triangular matrix algebras graded by finite cyclic groups: the factorability of their graded T-ideals and the minimal varieties

Abstract

Seja $F$ um corpo algebricamente fechado de característica zero e seja $G$ um grupo cíclico finito. Neste trabalho, todas as $F$-álgebras são assumidas como associativas. Dadas $F$-álgebras $G$-simples de dimensão finita $A_{1},\ldots,A_{m}$, tomadas como subálgebras graduadas de álgebras de matrizes com algumas graduações elementares, considere a álgebra de matrizes bloco triangular superior $A:=(UT(A_{1},\ldots,A_{m}),\widetilde{\alpha})$ munida com uma $G$-graduação elementar induzida por uma aplicação $\widetilde{\alpha}$ (definida "colando" as graduações das $A_{i}$'s). Nesta tese, abordamos dois tópicos principais: a \emph{propriedade de fatorabilidade} relacionada ao $T_{G}$-ideal $\mathrm{Id}_{G}(A)$ das identidades polinomiais $G$-graduadas satisfeitas por $A$ e as \emph{variedades minimais} de PI-álgebras associativas $G$-graduadas sobre $F$, de posto finito, com respeito a um dado $G$-expoente. Mais precisamente, provamos que qualquer $F$-álgebra $G$-simples de dimensão finita, anteriormente descrita por Bahturin, Sehgal e Zaicev (para qualquer grupo arbitrário), pode ser vista, para grupos cíclicos, como uma subálgebra graduada de uma álgebra de matriz munida com uma graduação elementar. Além disso, se $G$ é um $p$-grupo cíclico, com $p$ sendo um primo arbitrário, estabelecemos que $\mathrm{Id}_{G}(A)$ é fatorável se, e somente se, existe no máximo um índice $i\in\{1,\ldots,m\}$ tal que $A_{i}$ não é $G$-regular se, e somente se, existe uma única classe de isomorfismo de $G$-graduações para $A$. Isto é uma generalização dos resultados apresentados por Avelar, Di Vincenzo e da Silva, quando $G$ tem ordem 2, que já contrastavam com o caso ordinário, investigado por Giambruno e Zaicev. Vale ressaltar que usamos técnicas diferentes daquelas empregadas em tais casos. Ainda, generalizando o conceito de $G$-regularidade, introduzimos a definição de \emph{$\alpha$-regularidade} e estabelecemos interessantes relações entre tal conceito e os chamados \emph{subgrupos invariantes}. Finalmente, quando $G$ não é necessariamente um $p$-grupo, apresentamos condições necessárias e suficientes a fim de obter que $\mathrm{Id}_{G} ((UT(A_{1},A_{2}),\widetilde{\alpha}))$ é fatorável, requerindo que $A_{1}$ e $A_{2}$ sejam $\alpha_{1}$-regular e $\alpha_{2}$-regular, respectivamente. Em relação às variedades minimais, provamos que elas são geradas por adequadas álgebras de matrizes bloco triangulares superiores $G$-graduadas $(UT(A_{1},\ldots,A_{m}), \widetilde{\alpha})$. Por outro lado, assumindo algumas condições sobre essas álgebras, provamos que as variedades geradas por algumas delas são minimais. Estes problemas foram explorados, no caso ordinário, por Giambruno e Zaicev, e, quando $G$ é de ordem prima, por Di Vincenzo, da Silva e Spinelli