Equivariant compactifications of discrete groups
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Tese de doutorado
Título alternativo
Compactificações equivariantes de grupos discretos
Primeiro orientador
Membros da banca
Christopher Hruska
Jason Manning
Mário Jorge Dias Carneiro
Nikolai Alexandrovitch Goussevskii
Pablo Daniel Carrasco Correa
Jason Manning
Mário Jorge Dias Carneiro
Nikolai Alexandrovitch Goussevskii
Pablo Daniel Carrasco Correa
Resumo
This text presents two main theorems and their respective applications: For the first one, let $G$ be a group acting properly discontinuously and cocompactly on a Hausdorff locally compact space $X$. A Hausdorff compact space $Z$ that contains $X$ as an open subspace has the equivariant perspectivity property if the action $G\curvearrowright X$ extends to an action $G\curvearrowright Z$, by homeomorphisms, such that for every compact $K\subseteq X$ and every element $u$ of the unique uniform structure compatible with the topology of $Z$, the set $\{gK: g \in G\}$ has finitely many non $u$-small sets. We prove that the category of equivariant perspective compactifications of an action $G\curvearrowright X$ depends only on the group $G$: if $G\curvearrowright X'$ is another properly discontinuous and cocompact action, then the categories of equivariant perspective compactifications of $X$ and of $X'$, with their respective actions, are isomorphic and this isomorphism send a compactification of $X$ to a compactification of $X'$ with the same boundary. This generalizes similar results for convergence group actions and $E\mathcal{Z}$-structures. We apply the first result to the following construction: let $G$ be a group acting by homeomorphisms on a Hausdorff compact space $Z$. We constructed a new space $X$ that blows up equivariantly the bounded parabolic points of $Z$. This means, roughly speaking, that $G$ acts by homeomorphisms on $X$ and there exists a continuous equivariant map $\pi: X \rightarrow Z$ such that for every non bounded parabolic point $z \in Z$, $\#\pi^{-1}(z) = 1$. The second main theorem characterizes when maps with such properties come from this construction.
We use such construction to characterize topologically some spaces that $G$ acts with the convergence property (such as Sierpi\'nski carpets and dense amalgams) and to construct new convergence actions of $G$ from old ones. As one of the applications, if $(G,\mathcal{P})$ is a relatively hyperbolic pair with its Bowditch boundary that is non trivial, connected and without local cut points, then $G$ is one-ended.
Abstract
Este texto apresenta dois resultados principais e suas respectivas aplicações: Para o primeiro resultado, tome $G$ um grupo agindo propriamente descontinuamente e cocompactamente em um espaço Hausdorff localmente compacto $X$. Um espaço Hausdorff compacto $Z$ que contém $X$ como subespaço aberto possui a propriedade de perspectividade equivariante se a ação $G\curvearrowright X$ estende a uma ação por homeomorfismos $G\curvearrowright Z$ tal que para todo compacto $K\subseteq X$ e todo elemento $u$ da única estrutura uniforme compatível com a topologia de $Z$, o conjunto $\{gK: g \in G\}$ possui uma quantidade finita de conjuntos $u$-pequenos. Será demonstrado que a categoria de compactificações perspectivas equivariantes com respeito a uma ação $G\curvearrowright X$ depende apenas do grupo $G$: se $G\curvearrowright X'$ é outra ação propriamente descontínua e cocompacta, então as categorias de compactificações perspectivas equivariantes de $X$ e de $X'$, com respeito a suas respectivas ações, são isomorfas e esse isomorfismo manda cada compactificação de $X$ para uma compactificação de $X'$ com a mesma fronteira. Isso generaliza resultados similares para ações de convergência e $E\mathcal{Z}$-estruturas. Então é aplicado o primeiro resultado na seguinte construção: seja $G$ um grupo agindo em um espaço Hausdorff compacto $Z$. Constrói-se um novo espaço $X$ que "explode" de maneira equivariante os pontos parabólicos limitados de $Z$. Isso significa, de maneira simplificada, que $G$ age por homeomorfismos no espaço $X$ e existe uma aplicação contínua e equivariante $\pi: X \rightarrow Z$ tal que para todo ponto parabólico limitado $z \in Z$, $\#\pi^{-1}(z) = 1$. O segundo teorema principal caracteriza quando um mapa com tais propriedades vem desta construção. Essa construção é usada para caracterizar topologicamente alguns espaços em que $G$ age com a propriedade de convergência (como carpetes de Sierpi\'nski e amálgamas densos) e é usada para construir novas ações de convergência de $G$ a partir de ações antigas. Como exemplo de aplicação, se $(G,\mathcal{P})$ é um par relativamente hiperbólico com fronteira de Bowditch não trivial, conexa e sem pontos de corte locais, então $G$ possui apenas um fim.
Assunto
Matemática – Teses, Compactificações de grupos – Teses, Carpete de Sierpiński – Teses
Palavras-chave
Group compactifications, Convergence actions, Perspectivity, Blowups, Dense amalgams, Sierpinski Carpet.