Equivariant compactifications of discrete groups

Abstract

Este texto apresenta dois resultados principais e suas respectivas aplicações: Para o primeiro resultado, tome $G$ um grupo agindo propriamente descontinuamente e cocompactamente em um espaço Hausdorff localmente compacto $X$. Um espaço Hausdorff compacto $Z$ que contém $X$ como subespaço aberto possui a propriedade de perspectividade equivariante se a ação $G\curvearrowright X$ estende a uma ação por homeomorfismos $G\curvearrowright Z$ tal que para todo compacto $K\subseteq X$ e todo elemento $u$ da única estrutura uniforme compatível com a topologia de $Z$, o conjunto $\{gK: g \in G\}$ possui uma quantidade finita de conjuntos $u$-pequenos. Será demonstrado que a categoria de compactificações perspectivas equivariantes com respeito a uma ação $G\curvearrowright X$ depende apenas do grupo $G$: se $G\curvearrowright X'$ é outra ação propriamente descontínua e cocompacta, então as categorias de compactificações perspectivas equivariantes de $X$ e de $X'$, com respeito a suas respectivas ações, são isomorfas e esse isomorfismo manda cada compactificação de $X$ para uma compactificação de $X'$ com a mesma fronteira. Isso generaliza resultados similares para ações de convergência e $E\mathcal{Z}$-estruturas. Então é aplicado o primeiro resultado na seguinte construção: seja $G$ um grupo agindo em um espaço Hausdorff compacto $Z$. Constrói-se um novo espaço $X$ que "explode" de maneira equivariante os pontos parabólicos limitados de $Z$. Isso significa, de maneira simplificada, que $G$ age por homeomorfismos no espaço $X$ e existe uma aplicação contínua e equivariante $\pi: X \rightarrow Z$ tal que para todo ponto parabólico limitado $z \in Z$, $\#\pi^{-1}(z) = 1$. O segundo teorema principal caracteriza quando um mapa com tais propriedades vem desta construção. Essa construção é usada para caracterizar topologicamente alguns espaços em que $G$ age com a propriedade de convergência (como carpetes de Sierpi\'nski e amálgamas densos) e é usada para construir novas ações de convergência de $G$ a partir de ações antigas. Como exemplo de aplicação, se $(G,\mathcal{P})$ é um par relativamente hiperbólico com fronteira de Bowditch não trivial, conexa e sem pontos de corte locais, então $G$ possui apenas um fim.