Computação do corpo das invariantes de uma álgebra de Lie via folheações por curvas
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Tese de doutorado
Título alternativo
Computation of the invariant field of a Lie algebra via curve foliations
Primeiro orientador
Membros da banca
Artem Lopatin
Arturo Ulises Fernández Pérez
Elizaveta Vishnyakova
José Luis Vilca Rodriguez
Renato Vidal da Silva Martins
Arturo Ulises Fernández Pérez
Elizaveta Vishnyakova
José Luis Vilca Rodriguez
Renato Vidal da Silva Martins
Resumo
Nesta tese, apresentamos um procedimento algorítmico para a computação de um conjunto gerador algebricamente independente da álgebra dos invariantes racionais de uma álgebra de Lie nilpotente. Inicialmente, introduzimos conceitos fundamentais sobre álgebras. Em seguida, apresentamos o método das características, uma ferramenta analítica empregada na resolução de equações diferenciais parciais, adaptada ao contexto algébrico, e o aplicamos a derivações triangulares, obtendo um conjunto gerador algebricamente independente de seus núcleos. Também abordamos as derivações lineares, descrevendo um procedimento efetivo para calcular um conjunto algebricamente independente que gera os núcleos dessas derivações. Finalmente, utilizamos a teoria desenvolvida para determinar um conjunto gerador algebricamente independente da álgebra dos invariantes racionais de uma álgebra de Lie nilpotente, demonstrando que, ao considerar uma base triangular da álgebra de Lie, a derivação adjunta de um elemento dessa base, restrita ao núcleo da derivação adjunta do elemento anterior, resulta em uma derivação triangular. Por fim, apresentamos exemplos computacionais para álgebras de Lie solúveis de dimensões até quatro, utilizando as técnicas descritas para derivações triangulares e lineares.
Abstract
In this thesis, we present an algorithmic procedure for computing an algebraically independent generating set of the algebra of rational invariants of a nilpotent Lie algebra. We begin by introducing fundamental concepts of algebras. Next, we present the method of characteristics, an analytical tool used in solving partial differential equations, adapted to the algebraic context, and apply it to triangular derivations, obtaining an algebraically independent generating set of their kernels. We also address linear derivations, describing an effective procedure to compute an algebraically independent set that generates the kernels of these derivations. Finally, we use the developed theory to determine an algebraically independent generating set of the algebra of rational invariants of a nilpotent Lie algebra, demonstrating that, by considering a triangular basis of the Lie algebra, the adjoint derivation of an element of this basis, restricted to the kernel of the adjoint derivation of the previous element, results in a triangular derivation. Lastly, we present computational examples for solvable Lie algebras of dimensions up to four, using the techniques described for triangular and linear derivations.
Assunto
Matemática – Teses, Invariantes – Teses, Lie, Álgebra de – Teses, Álgebra Computacional – Teses, Classes características – Teses
Palavras-chave
Álgebra de Lie, Álgebra de invariantes, Método das características, Derivações triangulares, Derivações lineares, Geradores algebricamente independentes