The multiscale hybrid mixed method for parabolic problems
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Tese de doutorado
Título alternativo
O método multiescala híbrido misto para problemas parabólicos
Primeiro orientador
Membros da banca
Alexandre Loureiro Madureira
Denise Bulgarelli Duczmal
Juan Galvis A.
Luccas Cassimiro Campos
Denise Bulgarelli Duczmal
Juan Galvis A.
Luccas Cassimiro Campos
Resumo
Essa Tese tem como objetivo generalizar o método Multiescala Híbrido Misto (MHM) para equações diferenciais parciais parabólicas. Esse método numérico se baseia na formulação variacional híbrida primal do problema, onde a continuidade das soluções na fronteira
dos elementos da malha espaço-tempo é imposta pelo uso de multiplicadores de Lagrange tanto para o espaço, quanto para o tempo. Tal abordagem conduz na formulação de um sistema acoplado de equações locais e globais, cuja solução é a mesma do problema original. As soluções das equações locais formam uma base para o problema global, podendo ser calculadas numericamente em paralelo e naturalmente incorporando as informações das escalas mais finas. Como as soluções são obtidas através de um esquema de marcha no tempo, a flexibilidade do método se reflete na possibilidade de utilizar diferentes partições espaço-tempo para aproximar a solução numérica em cada intervalo de tempo. Além disso, as estimativas de erro obtidas pela análise de convergência do primeiro nível de discretização mostram que as taxas de convergência espacial e temporal estão ligadas aos parâmetros de discretização da malha espaço-tempo, bem como aos graus dos polinômios utilizados para aproximar os multiplicadores de Lagrange na fronteira da malha.
Abstract
This thesis aims to generalize the Multiscale Hybrid Mixed method (MHM) for parabolic partial differential equations. This numerical method is based on a primal variational formulation of the problem, where the continuity of the solution on the boundary of the
space-time mesh is enforced thru the use of Lagrange multipliers either for space and time. Such approach leads to the formulation of a coupled system of global-local equations, where the solution is the same as the solution of the original problem. The solutions
of the local equations turn into a basis used to solve the global problem, and due to the independence of such solutions, they can be numerically approximated in parallel, while capturing the in formation from the fine scales. Since the solutions are obtained
thru a time marching scheme, the flexibility of the method reflects on the possibility to use different space-time partitions to approximate numerically the solution on each time interval. Besides, the error estimates for the first level discretization obtained in this work show that the spatial and temporal convergence rates are related to the discretization parameters of the space-time mesh, as well as the degree of the polynomials used to approximate the Lagrange multipliers over the boundary of the mesh.
Assunto
Matemática - Teses, Equações diferenciais parciais - Teses, Lagrange, Multiplicadores de – Teses
Palavras-chave
MHM, Parabolic MHM, Multiscale methods