Asymptotic behavior for inhomogeneous nonlinear Schrödinger Equation

Abstract

Nesta tese investigamos algumas questões sobre o comportamento ao longo do tempo das soluções para o problema de valor inicial (PVI) associado à equação de Schrödinger não-linear não-homogênea (INLS) $$ i \partial_t u + \Delta u + \kappa|x|^{-b} |u|^{2\sigma}u = 0, $$ onde $\kappa=\pm 1$ and $\sigma, b>0$. Dentre elas, (a) estabilidade de ondas viajantes da equação {\it{focusing}} $L^2$-subcrítica INLS, para as quais damos uma prova alternativa ao resultado de De Bouard and Fukuizumi [9]; (b) boa colocação local para a equação intercrítica INLS em $\dot H^{s_c}(\Real^N)\cap \dot H^1(\Real^N)$; (c) concentração da norma crítica para soluções em que o tempo máximo de existência é finito; (d) explosão da norma crítica para soluções com dado inicial radialmente simétrico em $\dot H^{s_c}(\Real^N)\cap\dot H^{1}(\Real^N)$, inspirado pelas ideias de Merle and Raphäel.