A measure-theoretic description of the spectral types of the almost Mathieu operator
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Universidade Federal de Minas Gerais
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Dissertação de mestrado
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Primeiro orientador
Membros da banca
César Rogério de Oliveira
Moacir Aloísio Nascimento dos Santos
Moacir Aloísio Nascimento dos Santos
Resumo
The almost Mathieu operator is one of the most studied quasiperiodic Schrödinger operators and arises as a physical model for the electron in certain systems. At first, it was conjectured [1] that the spectral type of this operator with irrational frequencies would depend only on the coupling constant, being pure point when it is greater than 1 and purely absolutely continuous when it is less than 1. Although wrong as stated, this claim does hold in a measure-theoretic sense. In this work, we explore the studies of the almost Mathieu operator carried so far to show that such classification of the spectrum holds for full measure sets of frequencies and phases.
Abstract
O operador almost Mathieu é um dos operadores de Schrödinger quasiperiódicos mais estudados e surge como um modelo físico para o elétron em determinados sistemas. A princípio, conjecturou-se [1] que o tipo espectral de tal operador com frequências irracionais dependesse apenas da constante de acoplamento: o espectro seria puramente pontual quando ela fosse maior que 1 e puramente absolutamente contínuo quando ela fosse menor que 1. Apesar de essa conjectura ser falsa dessa forma, ela é válida em um ponto de vista de Teoria da Medida. Neste trabalho, nós usamos os estudos sobre o operador almost Mathieu feitos até então para mostrar que tal classificação do espectro é verdadeira em conjuntos de medida total de frequências e fases.
Assunto
Matemática - Teses, Teoria Espectral (Matemática) - Teses, Schrödinger, Operadores de - Teses, Teoria das medidas - Teses
Palavras-chave
Almost Mathieu operator, Quasiperiodic Schrödinger operators, Spectral theory