Classification of capillary CMC surfaces with symmetries in the unit ball

Abstract

Essa tese consiste de alguns resultados acerca de superfícies diferenciáveis, orientáveis, compactas, conexas, com bordo não vazio e curvatura média constante (CMC). Na primeira parte, nós usamos o Método de Reflexão de Alexandrov para obter uma caracterização para anéis CMC, capilares, mergulhados na bola euclideana B 3 . Em especial, usando uma nova estratégia, nós apresentamos uma nova caracterização para o catenóide crítico. Precisamente, nós mostramos que sendo Σ ⊂ B 3 um anel CMC, capilar, mergulhado em B 3 , tal que ∂Σ é invariante sob reflexões através dos planos coordenados, então Σ deve ser rotacionalmente simétrico. Por fim, apresentamos uma nova demonstração para o Teorema de Pyo, no caso mergulhado. Na segunda parte, nós estudamos imersões φ com curvatura média anisotrópica constante (CAMC), de uma variedade orientada, conexa, compacta, e com bordo não vazio, Σ, em uma região Ω cujo bordo é uma superfície de revolução. Percebemos que, diferentemente do caso clássico, as imersões CAMC, φ, não são necessariamente free boundaries. Assim, nos perguntamos quais seriam essas. Primeiramente, nós encontramos condições sobre o bordo, em seguida provamos que φ(Σ) deve ser um disco flat e, por fim, determinamos sob quais condições ele é estável.