Pólya urn models with reinforcement functions and time dependent fitness
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Tese de doutorado
Título alternativo
Modelos de urna de Pólya com funções de reforço e fitness que dependem do tempo
Primeiro orientador
Membros da banca
Daniel Valesin
Florencia Leonard
Marcelo Richard Hilário
Roberto Imbuzeiro de Oliveira
Tiago Schieber
Florencia Leonard
Marcelo Richard Hilário
Roberto Imbuzeiro de Oliveira
Tiago Schieber
Resumo
In this work we study a Pólya urn model with temporal reinforcement functions, i.e., the probability of adding a ball of color $s$ at time $t+1$ will be proportional to a function of the amount of balls of that color at time $t$ and the time $t$ itself. Specifically, the probability will be proportional to $f_s(x,t)$ where $x$ is the amount of balls of that color at time $t$ and $f_s$ is a positive function associated with the color $s$.
We are particularly interested in the Pólya urn model with two colors, 1 and 2, and the temporal reinforcement functions $f_1(x,t) = x^\alpha, f_2(x,t) = (1 + (t+1)^{-\beta})x^\alpha$ where $0 < \alpha < 1$ and $\beta > 0$. We find three regimes depending on $(\alpha,\beta)$. If $0< \alpha < 1/2$ and $0< \beta < 1/2$ then the color 2 wins the competition with probability 1, i.e., from a random time on, we always have more balls of color 2 than of color 1. If $0< \alpha < 1/2$ and $\beta \geq 1/2$ then there will be endless leadership changes. For $\alpha = 1/2$ we have a similar result but the regime is split between $\beta \leq 1/2$ and $\beta > 1/2$. For $1/2 < \alpha < 1$ we have a phase transition on $\beta = 1 - \alpha$. If $\beta \leq 1 - \alpha$ then the color 1 will lose with probability 1, but if $\beta > 1-\alpha$ then there is a positive probability of bin 1 win the competition. To deal with this problem, because of dependence on time, we were not able to use the exponential embedding, which is a classic tool analysing such models. To prove the results we needed first to generalize some results present in the literature and then, to define a coupling with our model.
Abstract
Vantagem acumulativa é um fenômeno observado em vários sistemas onde há com petição por recursos. Por exemplo, duas empresas podem competir por clientes. Quanto mais clientes uma empresa possui, mais popular ela será, e quanto mais pop ular ela for, mais clientes ela atrairá. Este fenômeno, a capacidade que recursos acu mulados tem para promover a acumulação de mais recursos, aparece na literatura sobre vários nomes, tais como vantagem acumulativa [Price, 1976], fixação preferencial [Barabasi and Albert, 1999], “O rico fica mais rico” [DiPrete and Eirich, 2008], proces sos com feedback [Drinea et al., 2002, Oliveira, 2009], entre outros. O modelo mais antigo com este fenômeno é o processo de urna de Pólya, o qual foi introduzido por Eggenberger e Pólya [Eggenberger and Pólya, 1923] como um modelo para doenças contagiosas. Depois disso, o modelo foi largamente estudado e aplicado [Mahmoud, 2008, Pemantle, 2007]. No modelo de urna de Pólya, nós temos uma urna com bolas coloridas. Então
sorteamos uma bola da urna e a colocamos de volta junto com outra bola da mesma cor. Note que se tivermos x bolas de uma certa cor, aquela cor será sorteada com probabilidade proporcional a f(x) = x, onde f é chamada de função de reforço. Em [Khanin and Khanin, 2001] os autores introduzem não linearidade para o processo, fazendo f(x) = x α com α > 0. Depois, em [Oliveira, 2008], Oliveira generaliza o modelo para qualquer função positiva f. Além da vantagem cumulativa, uma característica observada e reconhecida em competições é o fitness, que se refere a habilidade intrínsica que um agente possui para acumular recursos e que não depende da quantidade de recursos já acumulados [Borgs et al., 2007, Dereich and Ortgiese, 2014]
Assunto
Matemática – Teses, Pólya, modelos de urna – Teses, Processo estocástico – Teses, Modelo Ball into Bins – Teses
Palavras-chave
Balls into Bins, Balls into Bins, Pólya urn models, Pólya urn models, Preferrential attachment, Preferrential attachment, Fitness, Fitness