Pólya urn models with reinforcement functions and time dependent fitness

Abstract

Vantagem acumulativa é um fenômeno observado em vários sistemas onde há com petição por recursos. Por exemplo, duas empresas podem competir por clientes. Quanto mais clientes uma empresa possui, mais popular ela será, e quanto mais pop ular ela for, mais clientes ela atrairá. Este fenômeno, a capacidade que recursos acu mulados tem para promover a acumulação de mais recursos, aparece na literatura sobre vários nomes, tais como vantagem acumulativa [Price, 1976], fixação preferencial [Barabasi and Albert, 1999], “O rico fica mais rico” [DiPrete and Eirich, 2008], proces sos com feedback [Drinea et al., 2002, Oliveira, 2009], entre outros. O modelo mais antigo com este fenômeno é o processo de urna de Pólya, o qual foi introduzido por Eggenberger e Pólya [Eggenberger and Pólya, 1923] como um modelo para doenças contagiosas. Depois disso, o modelo foi largamente estudado e aplicado [Mahmoud, 2008, Pemantle, 2007]. No modelo de urna de Pólya, nós temos uma urna com bolas coloridas. Então sorteamos uma bola da urna e a colocamos de volta junto com outra bola da mesma cor. Note que se tivermos x bolas de uma certa cor, aquela cor será sorteada com probabilidade proporcional a f(x) = x, onde f é chamada de função de reforço. Em [Khanin and Khanin, 2001] os autores introduzem não linearidade para o processo, fazendo f(x) = x α com α > 0. Depois, em [Oliveira, 2008], Oliveira generaliza o modelo para qualquer função positiva f. Além da vantagem cumulativa, uma característica observada e reconhecida em competições é o fitness, que se refere a habilidade intrínsica que um agente possui para acumular recursos e que não depende da quantidade de recursos já acumulados [Borgs et al., 2007, Dereich and Ortgiese, 2014]