On the Boundedness of partial sums of multiplicative functions
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Dissertação de mestrado
Título alternativo
Primeiro orientador
Membros da banca
Ana Paula Chaves
Oleksiy Klurman
Sávio Ribas
Oleksiy Klurman
Sávio Ribas
Resumo
In number theory the discrepancy of a function f: N→ C is defined as:
\sup_{n, d} |\sum_{j=1}^n f(jd)|. The Erdos Discrepancy Problem asks whether the discrepancy of a function f: N → {-1, 1} is infinite. Tao showed in that this is indeed the case. Consequently, every totally multiplicative function that takes values in {-1, 1} has unbounded partial sums. This leads to a natural question: What happens when we consider multiplicative functions instead? Klurman provided a complete classification of multiplicative functions with bounded partial sums, a statement known as the Erdos–Coons–Tao conjecture.
Another important related question is the study of what happens when we allow the codomain to be \C instead of {-1, 1}. In this case, there is no complete classification, but some results in this direction were studied by Aymone. The main goal of this dissertation is to understand the key steps in the proof of the Erdos-Coons-Tao conjecture and also investigate some related questions in Aymone's work when the codomain is C. The text is meant to be self-contained so we build all the necessary tools to understand the main results from the ground up, making this text accessible to anyone with basic undergraduate mathematics knowledge.
Abstract
Na teoria analítica dos números, a discrepância de uma função 𝑓 : ℕ → ℂ é definida
como: sup 𝑛,𝑑 ∑︁𝑛𝑗=1 𝑓 (𝑗𝑑)
O "Problema da Discrepância de Erdős" pergunta se a discrepância de uma função
𝑓 : ℕ → {−1, 1} é infinita. Tao mostrou em [18] que esse é, de fato, o caso. Consequentemente, toda função totalmente multiplicativa que toma valores em {−1, 1} possui somas
parciais ilimitadas. Isso nos leva a uma pergunta natural: o que acontece se considerarmos
funções multiplicativas ao invés de totalmente multiplicativas? Klurman [11] forneceu
uma classificação completa de funções multiplicativas com somas parciais limitadas, um
resultado conhecido como a conjectura de Erdős–Coons–Tao. Outra questão relacionada é o estudo do que acontece se permitirmos o codomínio ser ℂ ao invés de {−1, 1}. Nesse caso, não se conhece nenhuma classificação completa, porém alguns resultados foram estudados por Aymone [1]. O principal objetivo desta dissertação é entender os passos chave da demonstração da conjectura de Erdős-Coons-Tao e também investigar questões relacionadas no trabalho de
Aymone [1], quando o codomínio é ℂ. O texto foi escrito com a intenção de ser o mais
autocontido possível, portanto, todas as ferramentas necessárias são construídas do zero,
tornando-o acessível a qualquer pessoa com conhecimento básico de matemática superior.
Assunto
Matemática – Teses, Problema da discrepância de Erdős distintas, Teoria dos números - Teses.
Palavras-chave
Erdős-Coons-Tao, Partial Sums, Multiplicative Functions, Boundedness, Analytic Number Theory