On the Boundedness of partial sums of multiplicative functions

Abstract

Na teoria analítica dos números, a discrepância de uma função 𝑓 : ℕ → ℂ é definida como: sup 𝑛,𝑑 ∑︁𝑛𝑗=1 𝑓 (𝑗𝑑) O "Problema da Discrepância de Erdős" pergunta se a discrepância de uma função 𝑓 : ℕ → {−1, 1} é infinita. Tao mostrou em [18] que esse é, de fato, o caso. Consequentemente, toda função totalmente multiplicativa que toma valores em {−1, 1} possui somas parciais ilimitadas. Isso nos leva a uma pergunta natural: o que acontece se considerarmos funções multiplicativas ao invés de totalmente multiplicativas? Klurman [11] forneceu uma classificação completa de funções multiplicativas com somas parciais limitadas, um resultado conhecido como a conjectura de Erdős–Coons–Tao. Outra questão relacionada é o estudo do que acontece se permitirmos o codomínio ser ℂ ao invés de {−1, 1}. Nesse caso, não se conhece nenhuma classificação completa, porém alguns resultados foram estudados por Aymone [1]. O principal objetivo desta dissertação é entender os passos chave da demonstração da conjectura de Erdős-Coons-Tao e também investigar questões relacionadas no trabalho de Aymone [1], quando o codomínio é ℂ. O texto foi escrito com a intenção de ser o mais autocontido possível, portanto, todas as ferramentas necessárias são construídas do zero, tornando-o acessível a qualquer pessoa com conhecimento básico de matemática superior.