Conjuntos de nível de aplicações harmônicas para o círculo e curvatura escalar em 3-variedades
Carregando...
Data
Autor(es)
Título da Revista
ISSN da Revista
Título de Volume
Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Dissertação de mestrado
Título alternativo
Level sets of harmonic applications for the circle and scalar curvature in 3-manifolds
Primeiro orientador
Membros da banca
Cícero Tiarlos Nogueira Cruz
Edno Alan Pereira
Emerson Alves Mendonça de Abreu
Marcos Petrúcio de Almeida Cavalcante
Edno Alan Pereira
Emerson Alves Mendonça de Abreu
Marcos Petrúcio de Almeida Cavalcante
Resumo
Para superfícies fechadas em R^3, o teorema de Gauss-Bonnet nos fornece uma relação entre a curvatura gaussiana e a topologia desta superfície. Tendo isto, existindo a busca para resultados em dimensão 3, assim como em outras dimensões, Schoen-Yau [22] traz uma relação entre curvatura escalar de variedades de dimensão 3 e superfícies mínimas estáveis. Apresentaremos uma relação integral entre curvatura escalar da variedade am biente e a topologia de conjuntos de nível de aplicações harmônicas u : M^3 → S^1. Este resultado foi provado por D. Stern [26]. Para isto, apresentaremos algumas relações entre 1-formas harmônicas, no contexto da teoria de Hodge, e aplicações harmônicas, sendo estas ponto crítico do funcional energia de Dirichet. Dado este resultado, apresentaremos como aplicação a prova da conjectura de Geroch, de que o toro T^3 não admite métrica de curvatura escalar positiva.
Abstract
For closed surfaces in R^3, the Gauss-Bonnet theorem gives us a relation between the Gaussian curvature and the topology of this surface. Given this, there is a search for results in dimension 3, as well as in other dimensions, Schoen-Yau [22] brings a relationship between scalar curvature of 3-dimensional manifolds and minimal stable surfaces. We will present an integral relationship between scalar curvature of the environment manifold and the topology of level sets of harmonic maps u : M^3 → S^1. This one result was proved by D. Stern [26]. To do this, we will present some relationships between 1-harmonic forms, in the context of Hodge theory, and harmonic maps, being these critical point of the Dirichet energy functional. Given this result, we will present as application of the proof of Geroch’s conjecture, that the torus T^3 does not admit metric of positive scalar curvature.
Assunto
Matemática – Teses, Geometria diferencial – Teses, Funções harmônicas – Teses, Curvatura – Teses
Palavras-chave
Curvatura Escalar, Aplicações Harmônicas, 1-Formas Harmônicas