Topics in inhomogeneous Bernoulli percolation

Abstract

Esta tese é uma investigação de alguns aspectos matemáticos de percolação de elos de Bernoulli não-homogênea em dois grafos $ \mathbb{G} = (\mathbb{V},\mathbb{E}) $ distintos; em cada um deles, consideramos uma decomposição $ \mathbb{E}' \cup \mathbb{E}'' $ do conjunto de elos $\mathbb{E}$ em questão e, dados $ p,q \in [0,1] $, atribuímos parâmetros $ p $ e $ q $ aos elos de $ \mathbb{E}' $ e $ \mathbb{E}'' $, respectivamente. Em tal formulação, um dos conjuntos, digamos $ \mathbb{E}'' $, é visto como o conjunto de inomogeneidades.

O primeiro grafo $\mathbb{G}=(\mathbb{V},\mathbb{E})$ considerado é aquele induzido pelo produto cartesiano de um grafo infinito e conexo $G=(V,E)$ e o conjunto dos inteiros $\mathbb{Z}$. Escolhemos uma coleção infinita $\mathcal{C}$ de subgrafos finitos e conexos de $G$ e trabalhamos com o modelo de percolação de elos de Bernoulli em $\mathbb{G}$ que atribui probabilidade $q$ de estar aberto a cada elo cuja projeção em $G$ incide sobre algum subgrafo em $\mathcal{C}$, e probabilidade $p$ para os demais elos. Aqui, focamos nossa atenção no parâmetro crítico para percolação, $p_{c}(q)$, definido como o supremo dos valores de $ p $ para os quais percolação com parâmetros $ p,q $ não ocorre. Mostramos que a função $ q \mapsto p_{c}(q) $ é contínua em $(0,1)$, no caso em que os grafos de $\mathcal{C}$ estão ``suficientemente espaçados entre si'' em $G$ e seus conjuntos de vértices possuem cardinalidade uniformemente limitada.

O segundo grafo é a usual rede hipercúbica $ d $-dimensional, $ \mathbb{L}^{d} = ( \mathbb{Z}^{d},\mathbb{E}^{d} ) $, $ d \geq 3 $, onde definimos o modelo de percolação de Bernoulli não-homogênea em que cada elo contido no subespaço $ s $-dimensional $ \mathbb{Z}^{s} \times \{ 0 \}^{d-s} $, $ 2 \leq s < d $, está aberto com probabilidade $ q $, e os demais elos estão abertos com probabilidade $ p $. Definindo $ q_{c}(p) $ como o supremo dos valores de $ q $ para os quais percolação com parâmetros $ p,q $ não ocorre e denotando o ponto crítico para percolação homogênea em $ \mathbb{L}^{d} $ por $ p_{c} \in (0,1) $, provamos dois resultados: primeiro, a unicidade do aglomerado infinito na fase supercrítica de parâmetros $ (p,q) $, para $ p \neq p_{c} $; segundo, mostramos que, para $ p < p_{c} $, o ponto crítico $ (p,q_{c}(p)) $ pode ser aproximado por pontos críticos de slabs, no espírito do clássico teorema de Grimmett e Marstrand para percolação homogênea.