Dynamic phenomena in interacting particle systems: phase transition and equilibrium
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Tese de doutorado
Título alternativo
Fenômenos dinâmicos em sistemas de partículas em interação: transição de fase e equilíbrio
Primeiro orientador
Membros da banca
Enrique Daniel Andjel
Manuel Cabezas
Maria Eulália Vares
Renato Soares dos Santos
Manuel Cabezas
Maria Eulália Vares
Renato Soares dos Santos
Resumo
This thesis investigates critical phenomena and equilibrium states in various stochastic models through three interconnected studies.
In the first chapter, we analyze the Activated Random Walk model on a one-dimensional ring in the high-density regime. We introduce a toppling procedure that incrementally constructs an environment demonstrating the sustained activity over extended periods. This approach provides a concise and self-contained proof of the existence of a slow phase for arbitrarily large sleep rates. The second chapter focuses on a modified unidimensional contact process with varying infection rates. Specifically, infection spreads at rate $\lambda_e$ at the boundaries of the infected region and at rate $\lambda_i$ elsewhere. We establish the existence of an invariant measure for this process when $\lambda_i=\lambda_c$, $\lambda_e=\lambda_c+\varepsilon$ where $\lambda_c$ denotes the critical parameter for the standard contact process. Furthermore, we demonstrate that the process, when observed from the right edge, converges weakly to this invariant measure. We also show that infection dies almost surely along the critical curve within the attractive region of the phase space. In the final chapter, we explore quasi-stationary distributions (QSDs) for two subcritical population processes in continuous time: branching random walks and branching processes with genealogy. We prove the existence and uniqueness of QSDs for these processes by leveraging spatial aspects of their dynamics.
Abstract
Esta tese investiga fenômenos críticos e estados de equilíbrio em diversos modelos estocásticos por meio de três estudos interligados. No primeiro capítulo, analisamos o modelo de Passeios Aleatórios Ativados em um anel unidimensional no regime de alta densidade. Introduzimos um procedimento de topplings que constrói incrementalmente um ambiente que demonstra a atividade sustentada por longos períodos. Esta abordagem fornece uma prova concisa e auto-contida da existência de uma fase lenta para
taxas de sono arbitrariamente grandes. O segundo capítulo concentra-se em um processo de contato unidimensional modificado com taxas de infecção distintas. Especificamente, a infecção se espalha a uma taxa λe nos limites da região infectada e a uma taxa λi em
outros lugares. Estabelecemos a existência de uma medida invariante para este processo quando λi = λc, λe = λc + ε onde λc denota o parâmetro crítico para o processo de contato padrão. Além disso, demonstramos que o processo, quando observado pela borda direita, converge fracamente para esta medida invariante. Mostramos também que a infecção morre quase certamente ao longo da curva crítica dentro da região atrativa do espaço de fase. No capítulo final, exploramos distribuições quase-estacionárias (DQE) para
dois processos populacionais subcríticos em tempo contínuo: passeios aleatórios com ramificação e processos de ramificação com genealogia. Provamos a existência e a unicidade da DQE para esses processos, aproveitando os aspectos espaciais de sua dinâmica.
Assunto
Matemática - Teses, Processos estocásticos. - Teses, Passeios aleatórios – Teses, População – Estatística – Teses, Teoria das distribuições (Análise funcional) – Teses, Mecânica estatística – Teses
Palavras-chave
critical phenomena, activated random walks, modified boundary contact process, convergence to equilibrium, populational processes, quasi-stationary distributions