Dynamic phenomena in interacting particle systems: phase transition and equilibrium

Abstract

Esta tese investiga fenômenos críticos e estados de equilíbrio em diversos modelos estocásticos por meio de três estudos interligados. No primeiro capítulo, analisamos o modelo de Passeios Aleatórios Ativados em um anel unidimensional no regime de alta densidade. Introduzimos um procedimento de topplings que constrói incrementalmente um ambiente que demonstra a atividade sustentada por longos períodos. Esta abordagem fornece uma prova concisa e auto-contida da existência de uma fase lenta para taxas de sono arbitrariamente grandes. O segundo capítulo concentra-se em um processo de contato unidimensional modificado com taxas de infecção distintas. Especificamente, a infecção se espalha a uma taxa λe nos limites da região infectada e a uma taxa λi em outros lugares. Estabelecemos a existência de uma medida invariante para este processo quando λi = λc, λe = λc + ε onde λc denota o parâmetro crítico para o processo de contato padrão. Além disso, demonstramos que o processo, quando observado pela borda direita, converge fracamente para esta medida invariante. Mostramos também que a infecção morre quase certamente ao longo da curva crítica dentro da região atrativa do espaço de fase. No capítulo final, exploramos distribuições quase-estacionárias (DQE) para dois processos populacionais subcríticos em tempo contínuo: passeios aleatórios com ramificação e processos de ramificação com genealogia. Provamos a existência e a unicidade da DQE para esses processos, aproveitando os aspectos espaciais de sua dinâmica.