Topics in finite fields: Artin-Schreier's curves, superelliptic curves and irreducible polynomials
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Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Tese de doutorado
Título alternativo
Primeiro orientador
Membros da banca
Daniel Nelson Panario Rodriguez
Herivelto Martins Borges Filho
Lucas da Silva Reis
Luciane Quoos Conte
Ricardo Alberto Podestá
Herivelto Martins Borges Filho
Lucas da Silva Reis
Luciane Quoos Conte
Ricardo Alberto Podestá
Resumo
In this thesis we study some problems in the finite field theory that interesting for their applications in coding theory, cryptography, communications and related areas. Our first problem is to determine the number of rational points of a family of Artin-Schreier curves and of an Artin-Schreier hypersurface, as well as to determine conditions for these curves/hypersurface to be maximal or minimal with respect to the Hasse-Weil bound. In the sequence, we study a class of superelliptic curves and, under some conditions, we describe the number of rational points of these curves. The last topic of this work is about irreducible polynomials, where we determine conditions on n and q for which the irreducible factors over F_q of the binomial x^n-1 are binomials and trinomials.
Abstract
Nesta tese estudamos alguns problemas da teoria de corpos finitos que são interessantes por suas aplicações em teoria de códigos, criptografia, comunicações e áreas relacionadas. Nosso primeiro problema é determinar o número de pontos racionais de uma família de curvas do tipo Artin-Schreier e de uma hipersuperfície de Artin-Schreier, assim como determinar condições para essas curvas/hipersuperfícies serem maximais ou minimais com respeito à cota de Hasse-Weil. Na sequência estudamos uma classe de curvas superelípticas e, sob algumas condições, descrevemos o número de pontos racionais dessas curvas. O último tópico deste trabalho é sobre polinômios irredutíveis, onde determinamos condições sobre n e q para os quais os fatores irredutíveis sobre F_q do binômio x^n-1 são binômios e trinômios.
Assunto
Matemática – Teses, Corpos finitos (Algebra) – Teses, Formas Quadráticas – Teses, Somas de Gauss – Teses.
Palavras-chave
Finite Fields, Quadratic Forms, Artin-Schreier's Curves, Artin-Schreier's Hypersurfaces, Superelliptic Curves, Hasse-Weil's Bound, Gauss Sums, Circulant Matrices, Irreducible Polynomials