A Conjectura de entropia para dinâmicas infinitamente diferenciáveis
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Universidade Federal de Minas Gerais
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Dissertação de mestrado
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Javier Alexis Correa Mayobre
Yuri Gomes Lima
Yuri Gomes Lima
Resumo
Este trabalho situa-se na teoria de sistemas dinâmicos e tem como tema central a \emph{Conjectura de Entropia} de Shub, que compara a entropia topológica $h(f)$ de um sistema $(N,f)$ com a dinâmica induzida em homologia via os raios espectrais $sp(f_*^i)$. O objetivo principal é apresentar e demostrar em detalhe o \emph{Teorema de Yomdin}, que estabelece a validade da conjectura para aplicações $C^\infty$ em variedades compactas. A estratégia segue a introdução de um invariante intermediário de crescimento volumétrico, $v(f)$, que faz a ponte entre os invariantes homológicos e a entropia: mostra-se $S(f)\le v(f)$, e obtém-se uma cota superior $v(f)\le h(f)$ sob hipóteses de regularidade, concluindo $S(f)\le h(f)$ para o caso $C^\infty$. O núcleo técnico envolve controle local de volume por reparametrizações e ferramentas de \emph{Geometria Semialgébrica}, a partir das quais se obtêm decomposições com derivadas controladas e cotas uniformes para o volume das partes relevantes nas iteradas de $f$.
Abstract
This work lies in the theory of dynamical systems and has as its central theme Shub's Entropy Conjecture, which compares the topological entropy h(f) of a system (N, f) with the homology induced dynamics via the spectral radii sp(fi∗ ). The main
objective is to present and prove in detail Yomdin's Theorem, which establishes the validity of the conjecture for C∞ maps on compact manifolds. The strategy follows the introduction of an intermediate invariant of volume growth, v(f), which bridges homological invariants and entropy: one shows S(f) ≤ v(f), and obtains an upper bound v(f) ≤ h(f) under regularity assumptions, concluding S(f) ≤ h(f) in the C∞ case. The technical core involves local volume control via reparametrizations and tools from Semialgebraic Geometry, from which one obtains decompositions with controlled derivatives and uniform bounds for the volume of the relevant pieces
in the iterates of f.
Assunto
Matemática – Teses, Sistemas dinâmicos – Teses, Entropia topológica – Teses, Geometria algébrica – Teses
Palavras-chave
Entropia topológica, Conjectura de entropia de Shub, Crescimento volumétrico, Teorema de Yomdin, Geometria semialgébrica
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