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http://hdl.handle.net/1843/35582
Tipo: | Tese |
Título: | Nonlinear perturbations of a periodic magnetic nonlinear Choquard equation with Hardy-Littlewood-Sobolev critical exponent |
Autor(es): | Leandro da Luz Vieira |
Primeiro Orientador: | Hamilton Prado Bueno |
Primeiro Coorientador: | Narciso da Hora Lisboa |
Primeiro membro da banca : | Gilberto Pereira |
Segundo membro da banca: | Giovani Figueiredo |
Terceiro membro da banca: | Grey Ercole |
Quarto membro da banca: | Olimpio Hiroshi Miyagaki |
Quinto membro da banca: | Ronaldo Brasileiro Assunção |
Resumo: | In this work we consider the following magnetic nonlinear Choquard equations \[-(\nabla+iA(x))^2u+ V(x)u = \left(\frac{1}{|x|^{\alpha}}*|u|^{2_{\alpha}^*}\right) |u|^{2_{\alpha}^*-2} u + \lambda f(u)\ \textrm{ in }\ \R^N (N\geq 3)\] and \[(-\Delta)^s_A u+ V(x)u = \left(\frac{1}{|x|^{\alpha}}*|u|^{2_{\alpha,s}^*}\right) |u|^{2_{\alpha,s}^*-2} u + \lambda g(u)\ \textrm{ in }\ \R^N (N=3),\] where $s\in(0,1)$, $2_{\alpha}^{*}=\frac{2N-\alpha}{N-2}$ and $2_{\alpha,s}^{*}=\frac{6-\alpha}{3-2s}$ are critical exponents in the sense of the Hardy-Littlewood-Sobolev inequality. Moreover, in both problems $0<\alpha< N,$ $\lambda>0,$ $A: \mathbb{R}^{N}\rightarrow \mathbb{R}^{N}$ is an $C^1$, $\mathbb{Z}^N$-periodic vector potential and $V$ is a continuous scalar potential given as a perturbation of a periodic potential. Considering different types of nonlinearities $f$ and $g$, namely, $f(x,u)=\left(\frac{1}{|x|^{\alpha}}*|u|^{p}\right)|u|^{p-2} u$ for $(2N-\alpha)/N<p<2^{*}_{\alpha}$, then $f(u)=|u|^{p-1} u$ for $1<p<2^*-1$ and $f(u)=|u|^{2^* - 2}u$ (where $2^*=2N/(N-2)$), $g(x,u)=\left(\frac{1}{|x|^{\alpha}}*|u|^{p}\right)|u|^{p-2} u$ for $(6-\alpha)/3<p<2^{*}_{\alpha,s}$, then $g(u)=|u|^{p-1} u$ for $1<p<2_s^*-1$ and $g(u)=|u|^{2_s^* - 2}u$ (where $2_s^*=6/(3-2s)$), we prove the existence of at least one ground state solution for these equations by variational methods if $p$ belongs to some intervals depending on $N$, $\lambda$ and also on $s$ in the second problem. |
Abstract: | Neste trabalho nós consideramos as seguintes equações de Choquard magnéticas não lineares \[-(\nabla+iA(x))^2u+ V(x)u = \left(\frac{1}{|x|^{\alpha}}*|u|^{2_{\alpha}^*}\right) |u|^{2_{\alpha}^*-2} u + \lambda f(u)\ \textrm{ em }\ \R^N (N\geq 3)\] e \[(-\Delta)^s_A u+ V(x)u = \left(\frac{1}{|x|^{\alpha}}*|u|^{2_{\alpha,s}^*}\right) |u|^{2_{\alpha,s}^*-2} u + \lambda g(u)\ \textrm{ em }\ \R^N (N=3),\] em que $s\in(0,1)$, $2_{\alpha}^{*}=\frac{2N-\alpha}{N-2}$ e $2_{\alpha,s}^{*}=\frac{6-\alpha}{3-2s}$ são os expoentes críticos no sentido da desigualdade de Hardy-Littlewood-Sobolev. Além disso, em ambos os problemas $0<\alpha< N,$ $\lambda>0,$ $A: \mathbb{R}^{N}\rightarrow \mathbb{R}^{N}$ é um potencial vetorial de classe $C^1$, $\mathbb{Z}^N$-periódico e $V$ é potencial escalar contínuo dado como uma perturbação de um potencial periódico. Considerando diferentes tipos de não linearidades $f$ e $g$, a saber, $f(x,u)=\left(\frac{1}{|x|^{\alpha}}*|u|^{p}\right)|u|^{p-2} u$ para $(2N-\alpha)/N<p<2^{*}_{\alpha}$, depois $f(u)=|u|^{p-1} u$ para $1<p<2^*-1$ e $f(u)=|u|^{2^* - 2}u$ (em que $2^*=2N/(N-2)$), $g(x,u)=\left(\frac{1}{|x|^{\alpha}}*|u|^{p}\right)|u|^{p-2} u$ para $(6-\alpha)/3<p<2^{*}_{\alpha,s}$, depois $g(u)=|u|^{p-1} u$ para $1<p<2_s^*-1$ e $g(u)=|u|^{2_s^* - 2}u$ (em que $2_s^*=6/(3-2s)$), nós provamos a existência de ao menos uma solução de estado fundamental para estas equações por métodos variacionais se $p$ pertence a alguns intervalos dependendo de $N$, $\lambda$ e também de $s$ no segundo problema. |
Assunto: | Matemática – Teses Métodos variacionais – Teses Equação de Choquard – Teses Expoente crítico de Hardy LittlewoodSobolev– Teses. |
Idioma: | eng |
País: | Brasil |
Editor: | Universidade Federal de Minas Gerais |
Sigla da Instituição: | UFMG |
Departamento: | ICX - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA |
Curso: | Programa de Pós-Graduação em Matemática |
Tipo de Acesso: | Acesso Aberto |
metadata.dc.rights.uri: | http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/pt/ |
URI: | http://hdl.handle.net/1843/35582 |
Data do documento: | 4-Ago-2020 |
Aparece nas coleções: | Teses de Doutorado |
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