Somas aleatórias Poisson misturadas e modelos normais misturados associados
Carregando...
Data
Autor(es)
Título da Revista
ISSN da Revista
Título de Volume
Editor
Universidade Federal de Minas Gerais
Descrição
Tipo
Tese de doutorado
Título alternativo
Primeiro orientador
Membros da banca
Alexandre Galvão Patriota
Rodrigo Bernardo da Silva
Remy de Paiva Sanchis
Vinícius Diniz Mayrink
Rodrigo Bernardo da Silva
Remy de Paiva Sanchis
Vinícius Diniz Mayrink
Resumo
A soma de um número aleatório de variáveis aleatórias, além de ser interessante do ponto de vista probabilístico, aparece em aplicações que envolvem processos que evoluem com o tempo. Um exemplo importante e amplamente estudado é a soma geométrica que modela muitos fenômenos em seguros, finanças, confiabilidade, biologia, entre outros. Motivados pela aplicabilidade e resultados estocásticos da soma geométrica, neste trabalho obtemos a distribuição limite para somas parciais com um número aleatório de termos, seguindo uma classe de distribuições Poisson misturadas. O limite em distribuição resultante é uma mistura entre a distribuição Normal e a família exponencial, a que chamamos de lei Normal Família Exponencial Misturada (NFEM). Um novo conceito de estabilidade é introduzido e uma relação com distribuições alpha-estáveis é estabelecida. Propomos a estimação dos parâmetros dos modelos NFEM através do Método dos Momentos e do método da máxima verossimilhança via algoritmo EM. Além disso, estudamos a distribuição limite da soma Poisson Fracionada, definindo assim a distribuição Normal Mittag-Leffler, a qual é uma mistura entre as distribuições Normal e Mittag-Leffler. Discutimos a estimação dos parâmetros para esse modelo através do Método dos Momentos e encontramos a distribuição assintótica dos estimadores. Estudos de simulação Monte Carlo são abordados para verificar o desempenho dos estimadores propostos e apresentadas ilustrações empíricas sobre o mercado financeiro e para dados de precipitação.
Abstract
The sum of a random number of random variables, besides being interesting from a probabilistic point of view, appears in applications involving processes that evolve over time. An important and widely studied example is the geometric sum that has many applications and models many phenomenas in insurance, finance, reliability, biology, among others. Motivated by the applicability and stochastic results of the geometric sum, in this work we obtain the limit distribution for partial sums with a random number of terms following a class of mixed Poisson distributions. The resulting weak limit is a mixing between a Normal distribution and an exponential family, which we call by Normal Exponential Family mixed (NEFM) laws. A new stability concept is introduced and a relationship with alpha-stable distributions is established. We propose estimation of the parameters of the NEFM models through method of moments and maximum likelihood method via EM-algorithm. In addition, we studied a limit distribution of the fractional Poisson sum, defining the normal Mittag-Leffler distribution, which is a mixture between the Normal and Mittag-Leffler distributions. We discussed the estimation of the parameters for this model through the Method of Moments and we found the asymptotic distribution of the estimators. Monte Carlo simulation studies are addressed to check the performance of the proposed estimators and two empirical illustrations on financial market and for precipitation data are presented.
Assunto
Estatística, Poisson, Distribuição de, Algoritmos de expectativa de maximização
Palavras-chave
Distribuição Poisson misturada, Estabilidade, Convergência fraca, Método dos momentos, Algoritmo EM, Normal misturada, Distribuição Poisson fracionada, Distribuição Mittag-Leffler