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http://hdl.handle.net/1843/36701
Type: | Tese |
Title: | Pólya urn models with reinforcement functions and time dependent fitness |
Other Titles: | Modelos de urna de Pólya com funções de reforço e fitness que dependem do tempo |
Authors: | Cristiano Santos Benjamin |
First Advisor: | Rémy de Paiva Sanchis |
First Referee: | Daniel Valesin |
Second Referee: | Florencia Leonard |
Third Referee: | Marcelo Richard Hilário |
metadata.dc.contributor.referee4: | Roberto Imbuzeiro de Oliveira |
metadata.dc.contributor.referee5: | Tiago Schieber |
Abstract: | In this work we study a Pólya urn model with temporal reinforcement functions, i.e., the probability of adding a ball of color $s$ at time $t+1$ will be proportional to a function of the amount of balls of that color at time $t$ and the time $t$ itself. Specifically, the probability will be proportional to $f_s(x,t)$ where $x$ is the amount of balls of that color at time $t$ and $f_s$ is a positive function associated with the color $s$. We are particularly interested in the Pólya urn model with two colors, 1 and 2, and the temporal reinforcement functions $f_1(x,t) = x^\alpha, f_2(x,t) = (1 + (t+1)^{-\beta})x^\alpha$ where $0 < \alpha < 1$ and $\beta > 0$. We find three regimes depending on $(\alpha,\beta)$. If $0< \alpha < 1/2$ and $0< \beta < 1/2$ then the color 2 wins the competition with probability 1, i.e., from a random time on, we always have more balls of color 2 than of color 1. If $0< \alpha < 1/2$ and $\beta \geq 1/2$ then there will be endless leadership changes. For $\alpha = 1/2$ we have a similar result but the regime is split between $\beta \leq 1/2$ and $\beta > 1/2$. For $1/2 < \alpha < 1$ we have a phase transition on $\beta = 1 - \alpha$. If $\beta \leq 1 - \alpha$ then the color 1 will lose with probability 1, but if $\beta > 1-\alpha$ then there is a positive probability of bin 1 win the competition. To deal with this problem, because of dependence on time, we were not able to use the exponential embedding, which is a classic tool analysing such models. To prove the results we needed first to generalize some results present in the literature and then, to define a coupling with our model. |
Abstract: | Vantagem acumulativa é um fenômeno observado em vários sistemas onde há com petição por recursos. Por exemplo, duas empresas podem competir por clientes. Quanto mais clientes uma empresa possui, mais popular ela será, e quanto mais pop ular ela for, mais clientes ela atrairá. Este fenômeno, a capacidade que recursos acu mulados tem para promover a acumulação de mais recursos, aparece na literatura sobre vários nomes, tais como vantagem acumulativa [Price, 1976], fixação preferencial [Barabasi and Albert, 1999], “O rico fica mais rico” [DiPrete and Eirich, 2008], proces sos com feedback [Drinea et al., 2002, Oliveira, 2009], entre outros. O modelo mais antigo com este fenômeno é o processo de urna de Pólya, o qual foi introduzido por Eggenberger e Pólya [Eggenberger and Pólya, 1923] como um modelo para doenças contagiosas. Depois disso, o modelo foi largamente estudado e aplicado [Mahmoud, 2008, Pemantle, 2007]. No modelo de urna de Pólya, nós temos uma urna com bolas coloridas. Então sorteamos uma bola da urna e a colocamos de volta junto com outra bola da mesma cor. Note que se tivermos x bolas de uma certa cor, aquela cor será sorteada com probabilidade proporcional a f(x) = x, onde f é chamada de função de reforço. Em [Khanin and Khanin, 2001] os autores introduzem não linearidade para o processo, fazendo f(x) = x α com α > 0. Depois, em [Oliveira, 2008], Oliveira generaliza o modelo para qualquer função positiva f. Além da vantagem cumulativa, uma característica observada e reconhecida em competições é o fitness, que se refere a habilidade intrínsica que um agente possui para acumular recursos e que não depende da quantidade de recursos já acumulados [Borgs et al., 2007, Dereich and Ortgiese, 2014] |
Subject: | Matemática – Teses Pólya, modelos de urna – Teses Processo estocástico – Teses Modelo Ball into Bins – Teses |
language: | eng |
metadata.dc.publisher.country: | Brasil |
Publisher: | Universidade Federal de Minas Gerais |
Publisher Initials: | UFMG |
metadata.dc.publisher.department: | ICX - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA |
metadata.dc.publisher.program: | Programa de Pós-Graduação em Matemática |
Rights: | Acesso Aberto |
URI: | http://hdl.handle.net/1843/36701 |
Issue Date: | 8-Sep-2020 |
Appears in Collections: | Teses de Doutorado |
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