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http://hdl.handle.net/1843/60240
Type: | Tese |
Title: | Existência e multiplicidade de soluções e existência de ground state para uma classe de problemas elípticos em RN com uma não linearidade geral |
Authors: | Ailton Luiz Vieira |
First Advisor: | Hamilton Prado Bueno |
metadata.dc.contributor.advisor2: | Olimpio Hiroshi Miyagaki |
Abstract: | Neste trabalho, provamos existência e multiplicidade de soluções radialmente simétricas para o problema $$(-\Delta_p)^s u=g(u) \ \ \textrm{ em } \ \ \mathbb{R}^N, \ \ u\in W^{s,p}(\mathbb{R}^N),$$ em que $s\in (0,1], \ 2 \leq p < \infty, \ sp \leq N, \ 2 \leq N \in \mathbb{N}$ e $(-\Delta_p)^s$ é o operador $p$-Laplaciano (fracionário se $0<s<1$). Ambos os casos foram tratados $sp=N$ e $sp<N.$ A não linearidade $g$ é uma função do tipo Berestycki-Lions com crescimento exponencial crítico se $sp=N$ e crescimento polinomial crítico se $sp<N$. Depois disso, decompondo o espaço $\mathbb{R}^N$ na forma $\mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^{N-2M}$, provamos a existência de infinitas soluções não radialmente simétricas nos casos $N=4 $ ou $ N\geq 6$ e $N-2M \neq 1$, em que $M>0$ é inteiro e $0\leq M \leq N/2$. Provamos também a existência de uma solução ground state para o mesmo problema. Logo após, consideramos o problema $$\Delta^2 u=g(u) \ \ \textrm{ em } \ \ \mathbb{R}^N, \ \ u\in H^2(\mathbb{R}^N),$$ em que $4 \leq N \in \mathbb{N}$ e $\Delta^2$ é o operador bilaplaciano. Obtivemos os mesmos resultados estabelecidos acima. Finalmente, consideramos o problema $$(-\Delta)^s u=g(u) \ \ \textrm{ em } \ \ \mathbb{R}^N, \ \ u\in W^{s,2}(\mathbb{R}^N),$$ onde $s\in (1,2), \quad N\geq 3 $ e $(-\Delta)^s$ é o operador $2$-Laplaciano fracionário de ordem superior e, mais uma vez, obtivemos os mesmos resultados descritos no caso do operador $p$-Laplaciano fracionário. |
Abstract: | In this work, the existence of infinitely many radially symmetric solutions is proved for the problem $$(-\Delta_p)^s u=g(u) \ \ \textrm{ in } \ \ \mathbb{R}^N, \ \ u\in W^{s,p}(\mathbb{R}^N),$$ where $s\in (0,1], \ 2 \leq p < \infty, \ sp \leq N,\ 2 \leq N \in \mathbb{N}$ and $(-\Delta_p)^s$ is the (fractional if $0<s<1$) $p$-Laplacian operator. Both the cases were handled $sp=N$ and $sp<N.$ The nonlinearity $g$ was a function of Berestycki-Lions type with critical exponential growth if $sp=N$ and critical polynomial growth if $sp<N$. After that, decomposing the space $\mathbb{R}^N$ in the form $\mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^{N-2M}$, we prove the existence of infinitely many nonradially symmetric solutions in the cases $N=4 $ or $ N\geq 6$ and $N-2M \neq 1$, on that $M>0$ is integer and $0\leq M\leq N/2$. We also prove the existence of a ground state solution for the same problem. Next, we consider the problem $$\Delta^2 u=g(u) \ \ \textrm{ in } \ \ \mathbb{R}^N, \ \ u\in H^2(\mathbb{R}^N),$$ where $N = 4$ and $\Delta^2$ is the bilaplacian operator. We obtain the same results stated above. Finally, we consider the problem $$(-\Delta)^s u=g(u) \ \ \textrm{ in } \ \ \mathbb{R}^N, \ \ u\in W^{s,2}(\mathbb{R}^N),$$ where $s\in (1,2), \quad N\geq 3 $ and $(-\Delta)^s$ is the higher order fractional $2$-Laplacian operator and, once more, obtain the same results described in the case of the $p$-Laplacian operator. |
Subject: | Matemática – Teses Operador p-laplaciano – Teses Ordem superior – Teses Multiplicidade - Teses |
language: | por |
metadata.dc.publisher.country: | Brasil |
Publisher: | Universidade Federal de Minas Gerais |
Publisher Initials: | UFMG |
metadata.dc.publisher.department: | ICX - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA |
metadata.dc.publisher.program: | Programa de Pós-Graduação em Matemática |
Rights: | Acesso Aberto |
URI: | http://hdl.handle.net/1843/60240 |
Issue Date: | 19-Aug-2022 |
Appears in Collections: | Teses de Doutorado |
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