Efficient fourth-order fixed-step runge-kutta discretization scheme for nonlinear systems in floating-point and posit arithmetic

Abstract

Pesquisadores têm estudado sistemas dinâmicos não lineares em diversas áreas da ciência e da engenharia. Utilizando para entender seu comportamento, descrito por equações diferenciais, um método de discretização para análise numérica. Um dos métodos mais citados e conhecidos para investigar tais sistemas é o método Runge-Kutta de quarta ordem. Embora o poder e o avanço computacional tenham crescido rapidamente nas últimas décadas, problemas embarcados e de grande escala têm motivados pesquisas significativas para melhorar a eficiência computacional. Poucos estudos focaram na limitação da precisão finita em esquemas de discretização devido a efeitos de arredondamento na representação de números de ponto flutuante. Normalmente, os resultados do método de discretização são considerados como verdadeiros para as pesquisas, sem se importar com a limitação computacional de representar esses termos. Portanto, o primeiro resultado desta pesquisa é um esquema computacional para a discretização efetiva de sistemas dinâmicos não lineares. Usando um teorema, mostra-se que os termos de alta ordem no método Runge-Kutta de quarta ordem podem ser desprezados sem perda de precisão. Esta abordagem foi aplicada a sistemas bem conhecidos na literatura, nomeadamente o sistema Rössler, as equações de Lorenz e o sistema Sprott B. Observou-se uma redução significativa no número de operações matemáticas e no tempo de simulação desses sistemas, mantendo a precisão, a observabilidade dos sistemas dinâmicos e o Maior Expoente de Lyapunov. Posteriormente, houve a necessidade de aplicar o resultado apresentado a uma outra computação Ou, de maneira mais geral, aritmética de número universal, que é uma alternativa à aritmética de ponto flutuante. Portanto, o teorema aplicado à aritmética de ponto flutuante foi alterado com a precisão da aritmética de Posit para obter o resultado efetivo da discretização ao usar a aritmética de Posit. Da mesma forma, observou-se uma redução significativa no número de operações matemáticas, com redução de 98,57% das operações paras as equações de Lorenz, preservando as características dos sistemas. Além disso, com a crescente preocupação com os fatores climáticos, principalmente a pegada de carbono, tornou-se imperativo desenvolver algoritmos mais eficientes que possam resolver problemas com uma pegada de carbono menor. Com o teorema proposto aplicado ao método de discretização de Runge-Kutta de quarta ordem para obter uma discretização efetiva resultando em uma redução dos monômios, dos números de operações e do o tempo de simulação, há uma redução significativa na sua pegada de carbono, sem sacrificar as características dos sistemas. Em particular, as equações de Lorenz obtiveram uma redução de aproximadamente 99% na pegada de carbono utilizando a aritmética Posit.