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http://hdl.handle.net/1843/60645
Type: | Tese |
Title: | Efficient fourth-order fixed-step runge-kutta discretization scheme for nonlinear systems in floating-point and posit arithmetic |
Authors: | Priscila Fernanda da Silva Guedes |
First Advisor: | Eduardo Mazoni Andrade Marçal Mendes |
First Co-advisor: | Erivelton Geraldo Nepomuceno |
First Referee: | Danton Diego Ferreira |
Second Referee: | Márcio Júnior Lacerda |
Third Referee: | Janier Arias García |
metadata.dc.contributor.referee4: | Leonardo Antônio Borges Torres |
Abstract: | Researchers have been studying nonlinear dynamical systems in several fields of science and engineering. Using to understand their behavior, described by differential equations, a discretization method for numerical analysis. One of the most widely cited and well-known methods for investigating such systems is the fourth-order Runge-Kutta method. Although computational power and advancement have grown rapidly in recent decades, large-scale and embedded problems have motivated significant research to improve computational efficiency. Few studies have focused on the limitation of finite precision in discretization schemes due to rounding effects in the representation of floating-point numbers. Typically, discretization method results are considering as true for the researches, without caring about the computational limitation of representing these terms. Therefore, the first result of this research is a computational scheme for the effective discretization of nonlinear dynamic systems. Using a theorem, it is shown that high-order terms in the fourth-order Runge-Kutta method can be neglected without loss of precision. This approach was applied to well-known systems in the literature, namely the Rössler system, the Lorenz equations, and the Sprott B system. A significant reduction was observed in the number of mathematical operations and simulation time of these systems while maintaining the accuracy, observability of dynamical systems, and the Largest Lyapunov Exponent. Subsequently, there was a need to apply the presented result to another arithmetic computation known as Posit arithmetic. Or more generally, universal number arithmetic, which is an alternative to floating-point arithmetic. Therefore, the theorem applied to floating-point arithmetic was altered with the precision of Posit arithmetic to obtain the effective result of discretization when using Posit arithmetic. Similarly, a significant reduction was observed in the number of mathematical operations, with a reduction of 98.57% of operations for the Lorenz equations, while preserving the characteristics of the systems. Furthermore, with the growing concern about climate factors, particularly the carbon footprint, it has become imperative to develop more efficient algorithms that can solve problems with a smaller carbon footprint. With the proposed theorem applied to the fourth-order RungeKutta discretization method to obtain an effective discretization resulting in a reduction of the monomials, the number of operations, and the simulation time, there is a significant reduction in its carbon footprint without sacrificing system features. In particular, the Lorenz equations achieved an approximately 99% reduction in carbon footprint using Posit arithmetic. |
Abstract: | Pesquisadores têm estudado sistemas dinâmicos não lineares em diversas áreas da ciência e da engenharia. Utilizando para entender seu comportamento, descrito por equações diferenciais, um método de discretização para análise numérica. Um dos métodos mais citados e conhecidos para investigar tais sistemas é o método Runge-Kutta de quarta ordem. Embora o poder e o avanço computacional tenham crescido rapidamente nas últimas décadas, problemas embarcados e de grande escala têm motivados pesquisas significativas para melhorar a eficiência computacional. Poucos estudos focaram na limitação da precisão finita em esquemas de discretização devido a efeitos de arredondamento na representação de números de ponto flutuante. Normalmente, os resultados do método de discretização são considerados como verdadeiros para as pesquisas, sem se importar com a limitação computacional de representar esses termos. Portanto, o primeiro resultado desta pesquisa é um esquema computacional para a discretização efetiva de sistemas dinâmicos não lineares. Usando um teorema, mostra-se que os termos de alta ordem no método Runge-Kutta de quarta ordem podem ser desprezados sem perda de precisão. Esta abordagem foi aplicada a sistemas bem conhecidos na literatura, nomeadamente o sistema Rössler, as equações de Lorenz e o sistema Sprott B. Observou-se uma redução significativa no número de operações matemáticas e no tempo de simulação desses sistemas, mantendo a precisão, a observabilidade dos sistemas dinâmicos e o Maior Expoente de Lyapunov. Posteriormente, houve a necessidade de aplicar o resultado apresentado a uma outra computação Ou, de maneira mais geral, aritmética de número universal, que é uma alternativa à aritmética de ponto flutuante. Portanto, o teorema aplicado à aritmética de ponto flutuante foi alterado com a precisão da aritmética de Posit para obter o resultado efetivo da discretização ao usar a aritmética de Posit. Da mesma forma, observou-se uma redução significativa no número de operações matemáticas, com redução de 98,57% das operações paras as equações de Lorenz, preservando as características dos sistemas. Além disso, com a crescente preocupação com os fatores climáticos, principalmente a pegada de carbono, tornou-se imperativo desenvolver algoritmos mais eficientes que possam resolver problemas com uma pegada de carbono menor. Com o teorema proposto aplicado ao método de discretização de Runge-Kutta de quarta ordem para obter uma discretização efetiva resultando em uma redução dos monômios, dos números de operações e do o tempo de simulação, há uma redução significativa na sua pegada de carbono, sem sacrificar as características dos sistemas. Em particular, as equações de Lorenz obtiveram uma redução de aproximadamente 99% na pegada de carbono utilizando a aritmética Posit. |
Subject: | Engenharia elétrica Sistemas dinâmicos Runge-Kutta, Fórrmulas de Lorenz, Equações de Computação - Matemática Sistemas de tempo discreto |
language: | eng |
metadata.dc.publisher.country: | Brasil |
Publisher: | Universidade Federal de Minas Gerais |
Publisher Initials: | UFMG |
metadata.dc.publisher.department: | ENG - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA |
metadata.dc.publisher.program: | Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica |
Rights: | Acesso Aberto |
metadata.dc.rights.uri: | http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/pt/ |
URI: | http://hdl.handle.net/1843/60645 |
Issue Date: | 2-May-2023 |
Appears in Collections: | Teses de Doutorado |
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