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http://hdl.handle.net/1843/61123
Type: | Dissertação |
Title: | Boa colocação e comportamento de soluções no espaço de energia para a equação de Schrödinger não-linear 3D cúbica |
Other Titles: | Well-posedness and behavior of solutions in the energy space for the non-linear 3D cubic Schrödinger's equation |
Authors: | Alan Bruno do Nascimento |
First Advisor: | Luiz Gustavo Farah Dias |
First Referee: | Carlos Manuel Guzmán Jiménez |
Second Referee: | Henrique de Melo Versieux |
Abstract: | Neste trabalho estudamos a boa colocação local e global, bem como a explosão em tempo finito e espalhamento das soluções no espaço de energia do problema de valor inicial associado à equação de Schrödinger não-linear em R^3 i∂tu + Δu + |u|2u = 0. (1) No Capítulo 2 introduzimos ferramentas essenciais de análise funcional e análise harmônica, assim como propriedades da equação elíptica Δψ − ψ + ψ3 = 0,que são importantes para o entendimento dos fenômenos da equação de Schrödinger acima enunciados. No Capítulo 3 demonstramos a boa colocação local para a equação (1), por meio do Teorema do Ponto Fixo de Banach. No Capítulo 4, utilizamos o método de decomposição em perfis em H1(R3) para determinar a constante ótima para a desigualdade de Gagliardo-Nirenberg ∥f∥4L4 ≤ c ∥∇f∥3L2 ∥f∥L2 , um resultado valioso para o entendimento da dicotomia boa colocação global e explosão, demonstrada em seguida. Finalmente, no Capítulo 5, passamos ao estudo do comportamento assintótico das soluções globais de (1). Demonstramos que, abaixo do limiar massa-energia da equação elíptica associada, as soluções globais têm espalhamento. |
Abstract: | In this work we study the local and global well-posedness, as well as the finite time blow-up and scattering of the solutions in the energy space of the inicial value problem associated with the nonlinear Schrödinger equation in R^3 i∂tu + Δu + |u|2u = 0. (1) In Chapter 2, we introduce essential tools from functional and harmonic analysis, as well as properties of the elliptic equation Δψ − ψ + ψ3 = 0, which are important for understanding the phenomena of the Schrödinger equation above stated. In Chapter 3 we show the local well-posedness for the equation (1), via the Banach Fixed Point Theorem. In Chapter 4, we make use of the profile decomposition method in H^1(R^3) to determine the sharp constant for the Gagliardo-Nirenberg inequality ∥f∥4L4 ≤ c ∥∇f∥3L2 ∥f∥L2, a valuable result for understanding the dicotomy global well-posedness and blow-up, that we then show. Finally, in Chapter 5, we switch to the study of the global solution's assymptotic behaviour, showing that, below the threshold mass-energy of the associated elliptic equation, the global solutions of (1) scatters. |
Subject: | Matemática – Teses Equação de Schrödinger – Teses Interpolação– Teses Espalhamento – Teses |
language: | por |
metadata.dc.publisher.country: | Brasil |
Publisher: | Universidade Federal de Minas Gerais |
Publisher Initials: | UFMG |
metadata.dc.publisher.department: | ICX - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA |
metadata.dc.publisher.program: | Programa de Pós-Graduação em Matemática |
Rights: | Acesso Aberto |
URI: | http://hdl.handle.net/1843/61123 |
Issue Date: | 28-Feb-2020 |
Appears in Collections: | Dissertações de Mestrado |
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